حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

التقريب باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة (نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة)

إذا كانت f دالة مستمرة ومعرفة على a,b وقابلة للاشتقاق في a,b ولو اعتبرنا (h=ba) فإن b=a+h حيث h0 , hR فإنه بموجب مبرهنة القيمة المتوسطة نحصل على:

 f'(c)=f(b)f(a)hf'(c)=f(a+h)f(a)hf(a+h)f(a)+hf'(c)

وعندما يكون اقتراب b من a قرباً كافياً تكون في هذه الحالة h صغيرة ويصبح الوتر صغيراً ونهايته قريبتان من a، أي أن المماس عند c سيكون مماساً للمنحني عند نقطة قريبة جداً من النقطة (x=a) ولذلك يصبح:

f(a+h)f(a)+hf'(a) ويقال لـ hf'(a) التغيير التقريبي للدالة.

ملاحظة: لإيجاد القيمة التقريبية باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة تتبع ما يلي:

  1. نفرض دالة على شكل السؤال ونختار قيمة لـ a قريبة من القيمة المعطاة في السؤال بحيث تخرج  f(a) مضبوطة ونجد  f(a)
  2. نجد قيمة h حيث h=ba
  3. نجد  f'(a)
  4. نطبق القانون f(a+h)f(a)+hf'(a) حيث hf'(a)هو التغيير التقريبي للدالة.

النوع الأول: عندما تكون الدالة موجودة في السؤال:

(1)- إذا كان f(x)=x3+3x2+4x+5 فجد بصورة تقريبية f(1.001)

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى يسهل حسابه:

   a=1b=1.001h=ba1.0011=0.001f(a)=a3+3a2+4a+5f(1)=1+3+4+5=13f'(x)=3x2+6x+4f'(1)=3+6+4=13f(a+h)f(a)+hf(a)f(1+0.001)f(1)+(0.001)f'(1)f(1.001)13+(0.001)(13)f(1.001)13+(0.013)13.013

النوع الثاني: عندما تكون الدالة غير موجودة في السؤال.

(2)- جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة تقريباً مناسباً للعدد 26

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى يسهل حسابه:

a=25b=26h=ba=2625=1f'(x)=xf'(x)=12xf(a)=af(25)=25=5f'(a)=12a=1225=12(5)=110=0.1f(a+h)f(a)+hf'(a)f(25+1)f(25)+(1)f'(25)f(26)5+(1)(0.1)=5.1

(3)- إذا كانت f(x)=3x+53 جد قيمة تقريبية للدالة f(1.002)

a=1   نفرضb=1.002h=ba=1.0021=0.002f(x)=3x+53f(x)=33(3x+5)23=1(3x+5)23f(a)=3(1)+53=83=2f(a)=1(3a+5)23=1(3(1)+5)23=1(2)2=14=0.25hf(a)=(0.002)(0.25)=0.00050=0.0005f(a+h)f(a)+hf(a)f(1+0.002+h)2+0.00052.0005

(4)- جد التغيير التقريبي (0.98)35+(0.98)4+3

a=1  نفرضb=0.98h=ba=0.981=0.02y=x35+x4+3=x35+x4+3y=35x25+4x3f(a)=f(1)=35(1)25+4(1)3=35+4=4.6hf(a)=0.02(4.6)=0.092

(5)- أسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها يساوي نصف قطر قاعدتها حجمها 124π جد نصف قطر قاعدتها بصورة تقريبية.

الارتفاع يساوي نصف القطر h=r

v=πr2hr=πr2rv=πr3124π=πr3r3=124v=1243a=125   نفرضb=124h=ba=124125=1f(x)=x3f(x)=13x23f(a)=f(125)=1253=5f(a)=f(125)=13(125)23=13(5)2=175=0.013hf(a)=(1)(0.013)=0.013f(a+h)f(a)+hf(a)50.0134.987

ملاحظة: إذا كان المطلوب إيجاد حجم المادة أو كمية المادة نكتفي بإيجاد hf(a) أي التغير التقريبي.

ثالثاً: عندما يكون في السؤال عبارة من قانون مساحة أو حجم أو ما شابه ذلك.

(6)- كرة مجوفة قطرها 3cm وسمك الغلاف 0.2cm جد حجم المادة المصنوعة منها.

a=3h=0.2v=43r3πf(x)=4π3x3f(x)=4πx2f(a)=f(3)=4π(3)2=36πhf(a)=(0.2)(36π)=7.2π   المصنوعة المادة حجم

(7)- مكعب طول حرفه 9.98cm جد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

ليكن v حجم المكعب الذي طول حرفه x

v(x)=x3{b=9.98a=10h=ba=9.9810=0.02v(10)=103=1000v(a)=a3v(a)=3a2v(10)=3(10)2=300v(a+h)v(a)+hv(a)v(10+(0.02))v(10)+(0.02)v(a)v(9.98)1000+(0.02)(300)994cm3

(8)- لتكن f(x)=x23 فإذا تغيرت x من 8 إلى 8.06 فما مقدار التغيير التقريبي للدالة.

a=8 , b=8.06

f(x)=x23=x23f'(x)=23x13=23x3h=ba=8.068=0.06f'(a)=f'(8)=2383=23(2)=13hf'(a)(0.06)(13)0.02   التقريبي التغير مقدار

(9)- يراد طلاء مكعب طول حرفه 10cm فإذا كان سمك الطلاء 0.15cm أوجد حجم الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

سمك الطلاء = 0.3=0.15+0.15

ليكن v حجم المكعب الذي طول حرفه x

طول حرف المكعب مع الطلاء b=10.3 

نفرض a=10 أقرب رقم للعدد المعطى

h=ba=10.310=0.3v(x)=x3v'(x)=3x2v'(a)=3a2v(10)=3(10)2=300hv'(a)hv'(10)=(0.3)(300)90cm3   تقريبية بصورة الطلاء حجم

(10)- باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة جد وبصورة تقريبية ومقرباً لثلاث مراتب عشرية على الأقل كلاً مما يأتي:

7.83

a=8   نفرضb=7.8h=ba=7.88=0.2f(x)=x3f'(x)=13x23f'(a)=f'(8)=83=2f'(a)=f'(8)=13(8)23=13(2)2=112=0.083f(a+h)f(a)+hf'(a)f(8+(0.2))f(8)+(0.2)f'(8)f(7.8)2(0.2)(0.083)20.01661.9834

17+174

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى

a=16b=17h=1716=1f(x)=x+x4f'(x)=12x+14x34f(16)=16+164=4+2=6f'(16)=1216+14(16)34=12(4)+14(2)3=18+132=4+132=532=0.156f(a+h)f(a)+hf'(a)f(17)f(16)+(1)f'(16)6+(1)(0.156)6.156

0.123

a=0.125b=0.120h=ba=0.1200.125=0.005f(x)=x3f'(x)=13x23f(a)=f(0.125)=0.1253=0.5f'(a)=f'(0.125)=131(0.125)2=13(0.5)2=13(0.25)=10.75=1.333f(a+h)f(a)+hf'(a)f(0.12)f(0.125)+(0.005)(1.333)f(0.12)0.50.0066650.493335

(11)- مخروط دائري قائم ارتفاعه ثلاثة أمثال نصف قطره فإذا كان نصف قطره 1.90 جد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

a=2   نفرضb=1.9h=ba=1.92=0.1h=3(r)h=3rv=π3r2hv=π3r2.3rv=πr3v=πx3 , v=3x2πf(a)=f(2)=π(2)3=8πf(a)=f(2)=3π(2)2=12πf(a+h)=f(a)+hf(a)f(2+(0.1))=8π+(0.1)12π=8π1.2π=6.8π

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات