تمارين (2-3)

(1)- سلم يستند طرفه الأسفل على أرض أفقية وطرفه الأعلى على حائط رأسي فإذا انزلق الطرف الأسفل مبتعداً عن الحائط بمعدل $2\mathrm{m}/\mathrm{s}$ فجد معدل انزلاق الطرف العلوي عندما يكون قياس الزاوية بين السلم والأرض تساوي $\frac{\pi }{3}$

نفرض:

• بعد الطرف الأسفل عن الحائط = $x$
• بعد الطرف الأعلى عن الأرض = $y$
• قياس الزاوية بين السلم والأرض = $\frac{\pi }{3}$
• معدل تغير بعد الطرف الأسفل عن الحائط = $\frac{dx}{dt}=2$
• معدل تغير بعد الطرف الأعلى عن الأرض = $\frac{dy}{dt}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& z^2=x^2+y^2 \left(t \mathrm{للزمن} \mathrm{بالنسبة} \mathrm{نشتق}\right)\\ & 0=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & \tan \theta =\frac{y}{x}\Rightarrow \tan \frac{\pi }{3}=\frac{y}{x}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{y}{x}\Rightarrow y=\sqrt{3}x \left(\left(1\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2x\left(2\right)+2\sqrt{3}x\frac{dy}{dt}=0\\ & 4x+2\sqrt{3}x\frac{dy}{dt}=0\Rightarrow 2\sqrt{3}x\frac{dy}{dt}=-4x\Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{-4x}{2\sqrt{3}x}\Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{-2}{\sqrt{3}}\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array} \end{gathered}$$

(2)- عمود طوله $7.2\mathrm{m}$ في نهايته مصباح يتحرك رجل طوله $1.8m$ مبتعداً عن العمود وبسرعة $30\mathrm{m}/\min$ جد معدل تغير طول ظل الرجل.

نفرض:

• بعد الرجل عن العمود = $x$
• طول ظل الرجل = $y$

من استعمال $\left(\tan \right)$ أو من تشابه المثلثين نحصل على:

• معدل تغير طول ظل الرجل = $\frac{dy}{dt}$
• معدل تغير بعد الرجل عن العمود = $\frac{dx}{dt}=30$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \tan \theta =\frac{7.2}{x+y} \left(\mathrm{الكبير} \mathrm{المثلث} \mathrm{في}\right)\\ & \tan \theta =\frac{1.8}{y} \left(\mathrm{الصغير} \mathrm{المثلث} \mathrm{في}\right)\end{array} \\ 4y=x+y\Rightarrow 3y=x \left(t \mathrm{للزمن} \mathrm{بالنسبة} \mathrm{نشتق}\right) \end{gathered}$$

معدل تغيير طول ظل الرجل $3\frac{dy}{dt}=\frac{dx}{dt}\Rightarrow 3\frac{dy}{dt}=30\Rightarrow \frac{dy}{dt}=10\mathrm{m}/\min$

(3)- لتكن $M$ نقطة تتحرك على القطع المكافئ $y=x^2$ جد إحداثي النقطة $M$ عندما يكون المعدل الزمني لابتعادها عن النقطة$\left(0,\frac{3}{2}\right)$ يساوي ثلثي المعدل الزمني لتغير الإحداثي الصادي للنقطة $M$

نفرض:

• لتكن النقطة $\ni M(x,y)$ للقطع المكافئ.
• لتكن النقطة $N(0,\frac{3}{2})$
• $S$ المسافة بين $\mathrm{M},\mathrm{N}$
• معدل الابتعاد $\frac{ds}{dt}$

المعدل الزمني لتغير الإحداثي الصادي للنقطة $\frac{dy}{dt}=\mathrm{M}$

$\frac{ds}{dt}=\frac{2}{3}\frac{dy}{dt}$

ملاحظة:

ثلثي = $\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \overline{MN}=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\\ & S=\sqrt{(x-0{)}^2+{(y-\frac{3}{2})}^2}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& S=\sqrt{x^2+y^2-3y+\frac{9}{4}} \left(y=x^2 \mathrm{نضع}\right)\\ & S=\sqrt{y+(y^2-3y+\frac{9}{4})}\Rightarrow S=\sqrt{y^2-2y+\frac{9}{4}}\\ & \frac{ds}{dt}=\frac{2y\frac{dy}{dt}-2\frac{dy}{dt}}{2\sqrt{y^2-2y+\frac{9}{4}}}\Rightarrow \frac{2}{3}\frac{dy}{dt}=\frac{2\frac{dy}{dt}(y-1)}{2\sqrt{y^2-2y+\frac{9}{4}}}\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{(y-1)}{\sqrt{y^2-2y+\frac{9}{4}}}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2\sqrt{y^2-2y+\frac{9}{4}}=3(y-1) \left(\mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\right)\\ & 4(y^2-2y+\frac{9}{4})=9(y^2-2y+1)\\ & 4y^2-8y+9=9y^2-18y+9\Rightarrow 4y^2-9y^2-8y+18y+9-9=0\\ & [-5y^2+10y=0]÷(-5)\Rightarrow y^2-2y=0\\ & y(y-2)=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \left(\mathrm{إما}\right) y=0\Rightarrow x=0 \left(0,0\right)...\left(\mathrm{تهمل}\right) \\ & \left(\mathrm{أو}\right) y=2\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\mp \sqrt{2}\therefore \text{M}(\mp \sqrt{2},2)\end{array} \end{gathered}$$

(4)- جد النقطة التي تنتمي للدائرة $x^2+y^2+4x-8y=108$ والتي عندها يكون المعدل الزمني لتغير $x$ يساوي المعدل الزمني لتغير $y$ بالنسبة للزمن $t$

نفرض:

• معدل التغير الزمني ل $x$ = $\frac{dx}{dt}$
• معدل التغير الزمني ل $y$ = $\frac{dy}{dt}$

$\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x^2+y^2+4x-8y=108\dots \dots .\left(1\right)\\ & 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}+4\frac{dx}{dt}-8\frac{dy}{dt}=0 \left(\frac{dy}{dt} ب \frac{dx}{dt} \mathrm{كل} \mathrm{بدل} \mathrm{نعوض}\right)\\ & 2x\frac{dy}{dt}+2y\frac{dy}{dt}+4\frac{dy}{dt}-8\frac{dy}{dt}=0\Rightarrow \frac{dy}{dt}(2x+2y+4-8)=0\\ & \therefore \frac{dy}{dt}=0\Rightarrow 2x+2y+4-8=0\Rightarrow [2x+2y-4=0]÷2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& x+y-2=0\Rightarrow y=2-x\dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{الدائرة} \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوضها}\right)\\ & x^2+(2-x{)}^2+4x-8(2-x)=108\\ & x^2+4-4x+x^2+4x-16+8x-108=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& [2x^2+8x-120=0]÷2\Rightarrow x^2+4x-60=0\Rightarrow (x+10)(x-6)=0\\ & \left(\mathrm{إما}\right) x=-10 \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوضها}\right)\\ & y=2+10=12\Rightarrow (-10,12)\\ & \left(\mathrm{أو}\right) x=6 \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوضها}\right)\\ & y=2-6=-4\Rightarrow (6,-4)\end{array} \end{gathered}$$

النقطتان هما $(-10,12) , (6,-4)$

(5)- متوازي سطوح مستطيلة أبعاده تتغير بحيث تبقى قاعدته مربعة الشكل، يزداد طول ضلع القاعدة بمعدل $(0.3\mathrm{cm}/\mathrm{s})$ وارتفاعه يتناقص بمعدل $(0.5\mathrm{cm}/\mathrm{s})$ جد معدل تغير الحجم عندما يكون طول القاعدة $4cm$ والارتفاع $3cm$

نفرض:

• طول القاعدة = $x$
• الارتفاع = $h$
• الحجم = $v$
• معدل زيادة طول القاعدة = $\frac{dx}{dt}=0.3$
• معدل نقصان ارتفاعه = $\frac{dh}{dt}=0.5$

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع.

القاعدة مربعة فيكون الطول والعرض متساويين:

$\begin{array}{rl}& \therefore v=x^2.h\\ & \frac{dv}{dt}=x^2\cdot \frac{dh}{dt}+h.2x\frac{dx}{dt}\\ & \frac{dv}{dt}=\left(4{)}^2\right(-0.5)+(3\left)\right(2\left)\right(4\left)\right(0.3)\\ & \frac{dv}{dt}=16(-0.5)+7.2=-8+7.2=-0.8{\mathrm{cm}}^3/\mathrm{s}\end{array}$