مبرهنة القيمة المتوسطة

إذا كانت $f$ مستمرة في الفترة المغلقة $\left[a , b\right]$ وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(a , b\right)$ فإنه يوجد على الأقل قيمة واحدة $c$ تنتمي إلى الفترة $\left(a , b\right)$ وتحقق:

1. المماس // الوتر أي أن ميلاهما متساويان.

2. ميل الوتر المار بالنقطتين $A,B$ يساوي $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

3. ميل المماس للمنحني عند $c$ = المشتقة الأولى للدالة $f$ عند $c$ أي $f\text{'}\left(c\right)$

4. المماس والوتر متوازيان لذا يتساوى ميلهما أي أن $f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

لإيجاد قيمة $\mathit{c}$ التي تحقق $\mathit{f}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\left(}\mathit{c}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{f}\mathbf{\left(}\mathbf{b}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathbf{f}\mathbf{\left(}\mathbf{a}\mathbf{\right)}}{\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}}$ يجب توفر الشرطيين التاليين:

1. أن تكون $f$ دالة مستمرة في الفترة المغلقة $\left[a , b\right]$

2. أن تكون $f$ دالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(a , b\right)$

ملاحظة: إن مبرهنة رول هي حالة خاصة من مبرهنة القيمة المتوسطة ففي مبرهنة رول يجب توافر شرط ثالث هو $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ أي أن الوتر والمماس يوازيان محور السينات أي أن فرق الصادات = 0 لذا يصبح الميل = 0 فتحصل على $f\text{'}\left(c\right)=0$

(1)- جد قيمة $c$ التي تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة لكل من الدوال الآتية:

$f\left(x\right)=x^2-6x+4 , x\in [-1,7]$

1. الدالة مستمرة في الفترة $\left[-1,7\right]$ لأنها كثيرة الحدود.

2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة $\left(-1,7\right)$ لأنها كثيرة حدود.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=2x-6\\ & f\text{'}\left(c\right)=2c-6\\ & f\text{'}c)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{f\left(7\right)-f(-1)}{7-(-1)}=\frac{11-11}{8}=0 \left(\mathrm{الوتر} \mathrm{ميل}\right)\end{array}$

ميل المماس = ميل الوتر

$2c-6=0\Rightarrow 2c=6\Rightarrow c=3\in (-1,7)$

$f\left(x\right)=\sqrt{25-x^2} , x\in [-4,0]$

أوسع مجال للدالة:

$25-x^2\ge 0\Rightarrow 25=x^2\Rightarrow x=\pm 5\Rightarrow x\in [-5,5]$

1. نبحث استمرارية في الفترة $\left[-4,0\right]$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }a\in [-4,0]\Rightarrow f\left(a\right)=\sqrt{25-a^2}\in R\\ & \underset{x\to -4^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -4^{+}}{lim}\sqrt{25-x^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\\ & \underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\sqrt{25-x^2}=\sqrt{25-0}=\sqrt{25}=5\end{array}$

الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $\left[-4,0\right]$

2. الدالة قابلة للاشتقاق عند الفترة المفتوحة $\left(-4,0\right)$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}\Rightarrow \hat{f}\left(c\right)=\frac{-c}{\sqrt{25-c^2}} \left(\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right)\\ & f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{f\left(0\right)-f(-4)}{0+4}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2} \left(\mathrm{الوتر} \mathrm{ميل}\right)\\ & \frac{1}{2}=\frac{-c}{\sqrt{25-c^2}}\\ & -2c=\sqrt{25-c^2} \left(\mathrm{بالتربيع}\right)\end{array}$

ميل المماس = ميل الوتر

$$\begin{gathered} either 4c^2=25-c^2\Rightarrow 4c^2+c^2=25\Rightarrow 5c^2=25\Rightarrow c^2=5\Rightarrow c==\pm \sqrt{5} \\ or c=-\sqrt{5}\in (-4,0) \end{gathered}$$

$f\left(x\right)=2x+\sin x , x\in [0,\pi ]$

1. الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $\left[0,\pi \right]$ لأنها دالة دائرية.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(0,\pi \right)$

الشروط متحققة فإن مبرهنة القيمة المتوسطة متحققة.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=2x+\sin x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2+\cos x\Rightarrow f\text{'}\left(c\right)=2+\cos \left(c\right) \left(\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right) \\ f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{(2\pi +\sin \pi )-0}{\pi -0}=\frac{2\pi }{\pi }=2 \left(\mathrm{الوتر} \mathrm{ميل}\right) \end{gathered}$$

ميل المماس = ميل الوتر

$2+\cos \left(c\right)=2\Rightarrow \cos \left(c\right)=2-2\Rightarrow \cos \left(c\right)=0\Rightarrow c=\frac{\pi }{2}\in (0,\pi )$

(2)- إذا كانت $f:[0,b]\to R , f\left(x\right)=x^3-4x^2$ وكانت $f$ تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة عند $c=\frac{2}{3}$ فجد قيمة $b$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3-4x^2\Rightarrow f\left(x\right)=3x^2-8x\\ & f\text{'}\left(c\right)=3c^2-8c\\ & f\text{'}\left(\frac{2}{3}\right)=3\left(\frac{4}{9}\right)-8\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}-\frac{16}{3}=\frac{-12}{3}=-4 \left(\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right)\\ & f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{f\left(b\right)-f\left(0\right)}{b-0}=\frac{b^3-4b^2-0}{b}=\frac{b(b^2-4b)}{b}=b^2-4b \left(\mathrm{الوتر} \mathrm{ميل}\right)\end{array}$

ميل المماس = ميل الوتر

$\begin{array}{rl}& b^2-4b=-4\Rightarrow b^2-4b+4=0\Rightarrow (b-2)(b-2)=0\\ & (b-2{)}^2=0\stackrel{\mathrm{بالجذر}}{⟹}b=2\end{array}$