حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

تمارين (3-3)

(1)- أوجد قيمة c التي تعينها مبرهنة رول في كل مما يأتي:

f(x)=x39x , x[3,3]

  1. الدالة مستمرة على -3,3 لأنها كثيرة حدود.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة -3,3 لأنها كثيرة حدود.
  3. نجد f(3) , f(3)

f(3)=(3)39(3)=27+27=0f(3)=(3)39(3)=2727=0f(3)=f(3)

الدالة تحقق مبرهنة رول نفرض f'(c)=0

f'(x)=3x29f'(c)=3c293c29=03c2=9c2=3c=3(3,3)

f(x)=2x+2x , x[12,2]

  1. الدالة مستمرة على الفترة [12,2] لأن 0[12,2]
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة (12,2) لأن 0(12,2)
  3. نجد f(12) , f(2)

f(12)=2(12)+212=1+4=5f(2)=2(2)+22=4+1=5f(12)=f(2)

الدالة تحقق مبرهنة رول نفرض f'(c)=0

f(x)=2x+2xf(x)=2x+2x1f'(x)=22x2=22x2f'(c)=22c222c2=02c22c2=02c22=02c2=2c2=1⇒∴c=1(12,2) , c=1(12,2)  السالب نهمل

f(x)=(x23)2 , x[1,1]

  1. الدالة مستمرة على -1,1
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على -1,1
  3. نجد f(1) , f(1)

f(1)=(13)2=4f(1)=(13)2=4f(1)=f(1)

الدالة تحقق مبرهنة رول نفرض f'(c)=0

f'(x)=2(x23).2x=4x(x23)f(c)=4c(c23)4c(c23)=0either 4c=0c=0(1,1)or c23=0c2=3c=3(1,1)

(2)- جد تقريباً لكل مما يلي باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة:

63+633

a=64   نفرضb=63h=ba=6364=1f(x)=x+x3f(64)=64+643f(64)=8+4=12f'(x)=12x+13x23f'(64)=1264+13(64)23f'(64)=12(8)+13(16)=116+148=3+148=448=112f'(64)=0.083f(a+h)f(a)+hf'(a)f(64+(1))f(64)+(1)f'(64)120.083=11.917

(1.04)3+3(1.04)4

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

a=1b=1.04h=1.041=0.04f(x)=x3+3x4f(1)=1+3=4f'(x)=3x2+12x3f'(1)=3+12=15f(a+h)f(a)+hf'(a)f(1.04)f(1)+(0.04)(15)4+0.6=4.6

193

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

a=8b=9h=98=1f(x)=1x3=x13f'(x)=13x43=13x43f'(a)=13a43f(8)=183=12f'(8)=13843=131(2)4=13116=148f(a+h)f(a)+hf'(a)f(8+1)f(8)+(1)f'(8)f(9)12+1481214824148=2348=0.479

1101

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

a=100b=101h=101100=1f(x)=1x=x1f'(x)=x2f(100)=1100=0.01f'(100)=(100)2=1(100)2=110000=0.0001f(a+h)f(a)+hf'(a)f(100+1)f(100)+(1)f'(100)f(101)0.01+(0.0001)0.010.00010.0099

12 , 12=0.5=0.50

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

a=0.49b=0.50h=0.500.49=0.01f(x)=xf'(x)=12xf(0.49)=0.49=0.7f'(0.49)=120.49=12(0.7)=11.4=1014=0.714f(a+h)f(a)+hf'(a)f(0.49+0.01)0.7+(0.01)(0.714)f(0.50)0.7+0.007140.70714

(3)- كرة نصف قطرها 6cm طليت بطلاء سمكه 0.1cm جد كمية الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

حجم كمية الطلاء = حجم الكرة مع الطلاء – حجم الكرة.

b=6.1 وهو يمثل نصف القطر للكرة مضافاً له كمية الطلاء.

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

h=6.16=0.1v=43πr3v'(x)=43π3x2=4πx2v'(a)=4πa2v'(6)=4π(6)2=144πhv'(a)=(0.1)(144π)=14.4π   تقريبية بصورة الطلاء كمية

(4)- كرة حجمها 84cm3 جد نصف قطرها بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

  • نفرض الحجم = v
  • نفرض نصف القطر = r

v=43πr384π=43πr3⇒∴r3=63r=633

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

a=64b=63h=6364=1f(x)=x3f'(x)=13x23f(64)=643=4f'(64)=133(64)23=13(4)2=148=0.02f(a+h)f(a)+hf'(a)f(63)f(64)+(1)f(64)40.02=3.98cm

(5)- مخروط دائري قائم ارتفاعه يساوي طول قطر قاعدته، فإذا كان ارتفاعه 2.98cm فجد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

  • نفرض نصف القطر = r
  • نفرض الارتفاع = h

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

b=2.98 , a=3h=ba=2.983=0.02v=13πr2h , h=2rr=12hv=π3h(12h)2v=π12h3v'=π123h2v=π4h2v(3)=112π(3)3=2712π=2.25πv'(a)=14πa2v(3)=14π(3)2=94π=2.25πv(a+h)v(a)+hv(a)v(2.98)2.205πm3

(6)- بين أن كل دالة من الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول على الفترة المعطاة إزاء كل منهما ثم جد قيمة c

f(x)=(x1)4 , [1,3]

  1. الدالة مستمرة على -1,3 لأنها كثيرة الحدود.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على -1,3 لأنها كثيرة الحدود.
  3. نجد f(1) , f(3)

f(1)=(11)4=16f(3)=(31)4=16f(1)=f(3)

الدالة f تحقق مبرهنة رول

f'(x)=4(x1)3f'(c)=4(c1)3 ,f'(c)=0[4(c1)3=0]÷4(c1)3=0c1=0c=1(1,3)

h(x)=x3x , [1,1]

  1. الدالة مستمرة على -1,1 لأنها كثيرة الحدود.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على -1,1 لأنها كثيرة الحدود.
  3. نجد h(1) , h(1)

h(1)=(1)3(1)=1+1=0h(1)=(1)3(1)=11=0h(1)=h(1)

الدالة h تحقق مبرهنة رول

h(x)=3x21h(c)=3c21 , h(c)=03c21=03c2=1c2=13c=13(1,1),c=13(1,1)

g(x)=x23x , [1,4]

  1. الدالة مستمرة على -1,4 لأنها كثيرة الحدود.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على -1,4 لأنها كثيرة الحدود.
  3. نجد g(1) , g(4)

g(1)=(1)23(1)=1+3=4g(4)=(4)23(4)1612=4g(1)=g(4)

الدالة g تحقق مبرهنة رول

g'(x)=2x3g'(c)=2c3 , g'(c)=02c3=02c=3c=32(1,4)

f(x)=cos2x+2cosx , [0,2π]

  1. الدالة مستمرة على 0,2π
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على 0,2π
  3. نوجد f(0) , f(2π)

f(0)=cos(0)+2cos(0)=1+2=3f(2π)=cos4π+2cos2π=1+2=3f(0)=f(2π)

الدالة f تحقق مبرهنة رول

f'(x)=2sin2x2sinxf'(c)=2sin2c2sinc , f'(c)=02sin(2c)2sin(c)=0÷2sin(2c)+sin(c)=02sin(c)cos(c)+sin(c)=0sin(c)[2cos(c)+1]=0either sinc=0c=0,π,2π,3π,c=π(0,2π)or2cos(c)+1=0cosc=12

زاوية الإسناد = π3

الإشارة السالبة موجودة في الربعين الثاني والثالث بالنسبة لدال الـ cos

c=ππ3=2π3(0,2π)  ثاني ربعc=π+π3=4π3(0,2π)   ثالث ربع

(7)- اختبر إمكانية تطبيق القيمة المتوسطة للدوال التالية على الفترة المعطاة إزاءها، جد قيم c الممكنة:

f(x)=x3x1 , [1,2]

  1. الدالة f مستمرة على الفترة المغلقة -1,2 لأنها كثيرة حدود.

  2. الدالة f قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة -1,2 لأنها كثيرة حدود.

الشروط متحققة فهي تحقق القيمة المتوسطة.

f'(x)=3x21f'(c)=3c21  المماس ميلf(1)=1+11=1f(2)=821=5f'(c)=f(b)f(a)ba=f(2)f(1)2(1)=5+13=63=2   الوتر ميل

ميل المماس = ميل الوتر.

3c21=2[3c23=0]÷3c21=0c2=1c2=1c=1(1,2)c=1(1,2)

h(x)=x24x+5 , [1,5]

  1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة -1,5 لأنها كثيرة حدود.

  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة -1,5 لأنها كثيرة حدود.

الشروط متحققة فهي تحقق القيمة المتوسطة.

h(5)=2520+5=10h(1)=1+4+5=10h'(x)=2x4h'(c)=2c4   المماس ميلh'(x)=h(b)h(a)ba=h(5)h(1)5(1)=10106=0   الوتر ميل

ميل المماس = ميل الوتر.

2c4=02c=4c=2[1,5]

g(x)=4x+2 , [1,2]

  1. الدالة h مستمرة على الفترة المغلقة -1,2 لأن 2[1,2]

  2. الدالة h قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة -1,2 لأن 2(1,2)

الشروط متحققة فهي تحقق القيمة المتوسطة.

g(x)=4(x+2)1g'(x)=4(x+2)2=4(x+2)2g(1)=41+2=4g(2)=42+2=1g'(c)=4(c+2)2g'(c)=g(b)g(a)ba=g(2)g(1)2(1)=143=33=1

ميل المماس = ميل الوتر.

4(c+2)2=1[(c+2)2=4].1(c+2)2=4   بالجذرc+2=±2either  c+2=2c=0(1,2)or  c+2=2c=4(1,2)

B(x)=(x+1)23 , [2,7]

  1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة -2,7
  2. الدالة Bx غير قابلة للاشتقاق عند x=-1 لأن 1(2,7)
  3. الدالة Bx لا تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة لأن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند x=-1

السبب للاطلاع: (توضيح عدم قابلية الاشتقاق).

B(x)=(x+1)23B'(x)=23(x+1)13=23(x+1)133(x+1)13=0]÷3(x+1)13=0x+1=0x=1[2,7]

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات