الصيغة القطبية للعدد المركب

إذا كان $z=x+yi=(x,y)$ فإن $I\left(z\right)=y=r\sin \theta , R\left(z\right)=x=r\cos \theta$ حيث أن $R\left(z\right)$ الجزء الحقيق للعدد المركب، $I\left(z\right)$ الجزء التخيلي للعدد المركب، $\left(r\right)$ مقياس العدد المركب وهو عدد حقيقي غير سالب ويسمى $mod z$ويرمز له بالرمز $\left|\right|Z\left|\right|$ وتسمى $\left(\theta \right)$ سعة العدد المركب وتكتب $\theta =\arg \left(z\right)$ حيث $\theta \in [0,2\pi ]$ ويمكن القول أن:

$Z=\parallel z\parallel (\cos (\arg Z)+i\sin (\arg Z\left)\right)$ أو يكتب $Z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

المقياس $r=\parallel Z\parallel =\sqrt{x^2+y^2}$

$\cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{x}{\left|\right|Z\left|\right|} , \sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{y}{\left|\right|Z\left|\right|}$

الشكل يوضح كيفية إيجاد الزاوية باستخدام زاوية الإسناد وحسب موقعها والربع الذي تقع فيه.

$\left(\theta \right)$ الإسناد الزاوية.

(1)- جد المقياس والقيمة الأساسية للعدد المركب $Z=1+\sqrt{3}i$

$$\begin{gathered} r=\mathrm{mod}Z=\parallel Z\parallel =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \\ \begin{array}{rl}& \cos \theta =\frac{x}{\parallel Z\parallel }=\frac{1}{2}\\ & \sin \theta =\frac{y}{\parallel Z\parallel }=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array} \end{gathered}$$

تقع في الربع الأول والقيمة الأساسية للسعة:

$\theta =\arg \left(z\right)=\frac{\pi }{3}$

(2)- إذا كان $Z=-1-i$ فجد المقياس والقيمة الأساسية للعدد $Z$

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\\ & \cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\\ & \sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}$

زاوية الإسناد $\theta =\frac{\pi }{4}$ تقع في الربع الثالث.

القيمة الأساسية للسعة:

$\theta =\arg \left(z\right)=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{1}+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$

الصيغة القطبية:

$Z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\Rightarrow Z=\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4})$

(3)- عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

$-2+2i$

المقياس:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-2{)}^2+(2{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

القيمة الأساسية:

$\cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}},\sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

زاوية الاسناد $\theta =\frac{\pi }{4}$ تقع في الربع الثاني.

سعة العدد المركب:

$\theta =\arg \left(z\right)=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$

الصيغة القطبية:

$\begin{array}{rl}& Z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & Z=2\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})\end{array}$

$2\sqrt{3}-2i$

المقياس:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4\times 3+4}=\sqrt{16}=4$

القيمة الأساسية:

$\cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} , \sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}$

زاوية الإسناد $\theta =\frac{\pi }{6}$ تقع في الربع الرابع.

سعة العدد المركب:

$\theta =2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$

الصيغة القطبية:

$\begin{array}{rl}& Z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & Z=4[\cos \left(\frac{11\pi }{6}\right)+i\sin \left(\frac{11\pi }{6}\right)]\end{array}$

(4)- عبر بالصيغة القطبية عن كل من الأعداد التالية:

$1$

$$\begin{gathered} r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(1{)}^2+0}=\sqrt{1}=1 \\ \begin{array}{rl}& \cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{1}{1}=1 , \sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{0}{1}=0 , \theta =0\\ & Z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & Z=1(\cos 0+i\sin 0)\end{array} \end{gathered}$$

$-1$

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1{)}^2+0}=\sqrt{1}=1\\ & \cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{-1}{1}=-1 , \sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{0}{1}=0 , \theta =\pi \\ & Z=1(\cos \pi +i\sin \pi )\end{array}$

$i$

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0+(1{)}^2}=\sqrt{1}=1\\ & \cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{0}{1}=0 , \sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{1}{1}=1 , \theta =\frac{\pi }{2}\\ & Z=1(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})\end{array}$

$-i$

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0+1}=\sqrt{1}=1\\ & \cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{0}{1}=0 , \sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{-1}{1}=-1 , \theta =\frac{3\pi }{2}\\ & Z=1(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2})\end{array}$