قسمة الأعداد المركبة

عند قسمة عدد مركب آخر نضرب بمرافق المقام $\frac{C_1}{C_2}=\frac{C_1}{C_2}\times \frac{\overline{C_2}}{\overline{C_2}}$

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصورة $a+bi$:

$\frac{1+i}{1-i}$

$\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i}{1-i}\times \frac{1+i}{1+i}=\frac{1+i+i+i^2}{1^2+1^2}=\frac{2i}{2}=i=0+i$

$\frac{1+2i}{-2+i}$

$\frac{1+2i}{-2+i}=\frac{1+2i}{-2+i}\times \frac{-2-i}{-2-i}=\frac{-2-i-4i-2i^2}{(-2{)}^2+(1{)}^2}=\frac{0-5i}{5}=\frac{-5i}{5}=-i=0-i$

(2)- ضع بالصيغة العادية العدد المركب $\frac{(3-2i{)}^2}{1+5i}$.

$\frac{(3-2i{)}^2}{1+5i}=\frac{9-12i-4}{1+5i}=\frac{5-12i}{1+5i}\times \frac{1-5i}{1-5i}=\frac{5-25i-12i+60i^2}{(1{)}^2+(5{)}^2}=\frac{-55-37i}{26}=\frac{-55}{26}-\frac{37}{26}i$

ملاحظة: يمكن تحليل $x^2+y^2$ إلى حاصل ضرب عددين مركبين كل منهما من الصورة $a+bi$

$x^2+y^2=x^2-y^2{i}^2=(x-yi)(x+yi)$

(3)- حلل كلاً مما يأتي إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة $a+bi$ حيث $a,b$ أعداد نسبية:

$10$

$10=9+1=9-i^2=(3-i)(3+i)$

$39$

$39=36+3=36-3i^2=(6-\sqrt{3}i)(6+\sqrt{3}i)$

$53$

$53=49+4=49-4i^2=(7-2i)(7+2i)$

$x^2+4$

$x^2+4=x^2-4i^2=(x-2i)(x+2i)$

(4)- حلل إلى عاملين لعددين مركبين نسبيين:

$x^2+9$

$x^2+9=x^2-9i^2=(x-3i)(x+3i)$

$y^2+16x^2$

$y^2+16x^2=y^2-16x^2{i}^2=(y-4xi)(y+4xi)$

$(x-1{)}^2+4$

$(x-1{)}^2+4=(x-1{)}^2-4i^2=(x-1-2i)(x-1+2i)$

$x^3+\frac{1}{125}i$

$\begin{array}{rl}{x}^3+\frac{1}{125}i& =x^3-\frac{1}{125}i\cdot i^2=x^3-\frac{1}{125}{i}^3\\ & =(x-\frac{1}{5}i)(x^2+\frac{1}{5}xi+\frac{1}{25}{i}^2)=(x-\frac{1}{5}i)(x^2+\frac{1}{5}xi-\frac{1}{25})\end{array}$

$x^2+7xi-12$

$x^2+7xi-12=x^2+7xi+12i^2=(x+4i)(x+3i)$

(5)- حلل إلى عاملين أو أكثر لكل مما يأتي:

$4x^2+1$

$4x^2+1=4x^2-i^2=(2x-i)(2x+i)$

$x^4-1$

$$\begin{gathered} x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2-i^2) \\ =(x-1)(x+1)(x-i)(x+i) \end{gathered}$$

$x^3-i^3$

$x^3-i^3=(x-i)(x^2+xi+i^2)=(x-i)(x^2+xi-1)$

$x^2-2xi+3$

$x^2-2xi+3=x^2-2xi-3i^2=(x-3i)(x+i)$

$x^2+y^2$

$x^2+y^2=x^2-y^2\left(i^2\right)=x^2-y^2{i}^2=(x-yi)(x+yi)$

$26$

$26=25+1=25-i^2=(5-i)(5+i)$

(6)- أكتب بالصيغة الجبرية بدون الضرب بالعامل المنسب:

$\frac{5}{1-2i}$

$\frac{5}{1-2i}=\frac{1+4}{1-2i}=\frac{1-4i^2}{1-2i}=\frac{(1-2i)(1+2i)}{1-2i}=1+2i$

$\frac{10}{1+2i}$

$\frac{10}{1+2i}=\frac{2\times 5}{1+2i}=\frac{2(1+4)}{1+2i}=\frac{2(1-4i^2)}{1+2i}=\frac{2(1-2i)(1+2i)}{1+2i}=2(1-2i)=2-4i$

(7)- جد $x,y$ التي تحقق $(x+yi)(2-i)=8+i$

$\begin{array}{rl}& x+yi=\frac{8+i}{2-i}\cdot \frac{2+i}{2+i}\\ & x+yi=\frac{16+8i+2i-1}{4+1}=\frac{16+10i-1}{5}=\frac{15+10i}{5}=\frac{15}{5}+\frac{10i}{5}\end{array}$

خاصية التساوي:

$\begin{array}{rl}& x+yi=3+2i\\ & x=3 , y=2\end{array}$

(8)- جد $x,y$ التي تحقق $x(x+i)+y(y-i)=13-i$

نفتح الأقواس:

$x^2+xi+y^2-yi=13-i$

خاصية التساوي:

$\begin{array}{rl}& (x^2+y^2)+(x-y)i=13-i\\ & x^2+y^2=13\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & x-y=-1\dots \dots \dots \dots \left(2\right)\\ & \Rightarrow [-y=-1-x]\cdot (-1)\\ & \Rightarrow y=x+1\dots \dots \dots (\ast )\end{array}$

نعوض معادلة (*) في معادلة (1)

$\begin{array}{rl}& x^2+(x+1{)}^2=13\\ & x^2+x^2+2x+1=13\Rightarrow 2x^2+2x+1-13=0\\ & 2x^2+2x-12=0÷2\\ & x^2+x-6=0\\ & (x+3)(x-2)=0\end{array}$

إما: $x=-3$

أو: $x=2$

$\begin{array}{rl}& y=x+1\Rightarrow y=-3+1\Rightarrow y=-2\left(x=-3\right)\\ & y=x+1\Rightarrow y=2+1\Rightarrow y=3\left(x=2\right)\end{array}$

(9)- جد $x,y$ التي تحقق المعادلة $(2+xi)(-x+i)=\frac{9y^2+49}{3y+7i}$

$$\begin{gathered} \underbrace{-2x}+2i-x^{2}i+\underset{-x}{\underbrace{x{i}^2}}=\frac{(9y^2-49i^2)}{3y+7i} \\ \underbrace{-3x}+(2-x^2)i=\frac{(3y-7i)(3y+7i)}{3y+7i} \\ -3x+(2-x^2)i=3y-7i \end{gathered}$$

خاصية التساوي:

$$\begin{gathered} -3x=3y\Rightarrow -x=y \\ 2-x^2=-7\Rightarrow 2+7=x^2\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\mp 3 \\ \begin{array}{ll}-(-3)=y\Rightarrow y=3& \left(x=-3\right)\\ -\left(3\right)=y\Rightarrow y=-3& \left(x=3\right)\end{array} \\ y=\mp 3 \end{gathered}$$