النظير الضربي للعدد المركب

ملاحظات:

1. عند ظهور (i) في المقام نضرب المقام والبسط بمرافق المقام لتبسيط الحل.
2. يمكن استخدام التعبير (مقلوب العدد المركب) بدل (النظير الضربي) ويرمز له بالرمز $c^{-1}=\frac{1}{c}$.

(1)- جد النظير الضربي لكل مما يأتي:

$c=3+4i$

$c^{-1}=\frac{1}{c}=\frac{1}{3+4i}\cdot \frac{3-4i}{3-4i}=\frac{3-4i}{9+16}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$

$c=(3-2i{)}^2-4i(1-2i)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}(3-2i{)}^2-4i(1-2i)& =(9-12i+4i^2)+(-4i+8i^2)\\ & =(5-12i)+(-8-4i)=-3-16i\end{array} \\ {c}^{-1}=\frac{1}{c}=\frac{1}{-3-16i}=\frac{1}{-3-16i}\cdot \frac{-3+16i}{-3+16i}=\frac{-3+16i}{9+256}=\frac{-3}{265}+\frac{16}{265}i \end{gathered}$$

(2)- جد عددين مركبين مترافقين مجموعيهما (6) وحاصل ضربهما (25).

لتكن x=a+bi , y=a-bi

$\begin{array}{rl}& (a+bi)+(a-bi)=6\Rightarrow 2a=6\Rightarrow a=3\\ & (a+bi)\cdot (a-bi)=25\Rightarrow a^2+b^2=25\Rightarrow 9+b^2=25\Rightarrow b^2=25-9\Rightarrow b^2=16\\ & b=\mp 4\end{array}$

العددان هما $(3+4i) , (3-4i)$

(3)- إذا كان $(c_2=3-2i) ,\hspace{0.17em}(c_1=1+i)$ فتحقق من الآتي:

$\overline{c_1+c_2}=\overline{c_1}+\overline{c_2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{LHS} \overline{c_1+c_2}=\overline{(1+ı)+(3-2l)}=\overline{(1+3)+(1-2)ı}=\overline{4-ı}=4+i \\ \mathbf{\text{RHS }}\overline{c_1}+\overline{c_2}=(1-i)+(3+2i)=(1+3)+(-1+2)i=4+i \\ \mathbf{LHS}=\mathbf{RHS} \end{gathered}$$

$\overline{c_1\cdot c_2}=\overline{c_1}\cdot \overline{c_2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{LHS}}\overline{c_1\cdot c_2}=\overline{(1+ı)\cdot (3-2l)}=\overline{(3-2l)+(3l-2{\iota }^2)}=\overline{5+ı}=5-i \\ \mathbf{RHS}\overline{c_1}\cdot \overline{c_2}=\overline{(1+i)}\cdot \overline{(3-2i)}=(1-i)(3+2i)=3+2i-3i+2=5-i \\ \mathbf{\text{LHS}}\mathbf{=}\mathbf{\text{RHS}} \end{gathered}$$

$\overline{\left(\frac{c_1}{c_2}\right)}=\frac{\overline{c_1}}{\overline{c_2}}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{LHS }}\overline{\left(\frac{c_1}{c_2}\right)}=\overline{(\frac{1+l}{3-2l}\times \frac{3+2l}{3+2l})}=\overline{\frac{3+2l+3l+2l^2}{9+4}}=\overline{\frac{\overline{1+5l}}{13}}=\frac{1-5i}{13}=\frac{1}{13}-\frac{5i}{13} \\ \mathbf{\text{RHS}}\frac{\overline{c_1}}{\overline{c_2}}=\frac{\overline{1+i}}{\overline{3-2i}}=\frac{1-i}{3+2i}=\frac{1-i}{3+2i}\times \frac{3-2i}{3-2i}=\frac{3-2i-3i+2i^2}{9+4}=\frac{1-5i}{13}=\frac{1}{13}-\frac{5i}{13} \\ \mathbf{LHS}=\mathbf{RHS} \end{gathered}$$

$\overline{\overline{c_1}}=c_1$

$\overline{\overline{c_1}}=c_1\Rightarrow \overline{\overline{c_1}}=\overline{\overline{1+i}}=\overline{1-ı}=1+i=c_1$

(4)- إذا كان $\frac{x-yi}{1+5i} , \frac{3-2i}{i}$ مترافقان فجد قيمة كل $x,y\in R$

لأن العددان مترافقان $\frac{x-yi}{1+5i} = \frac{3-2i}{i}$

$\begin{array}{rl}& \frac{x-yi}{1+5i}=\frac{3+2i}{-i}\\ & -i(x-yi)=(3+2i)(1+5i)\\ & -ix+y{i}^2=3+15i+2i+10i^2\\ & -xi-y=-7+17i\end{array}$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{array}{rl}& -xi=17i\Rightarrow x=-17\\ & -y=-7\Rightarrow y=7\end{array}$

(5)- أثبت أن العددين مترافقين $2+3i , 2-3i$

جمع العددان = 2a

$(2+3i)+(2-3i)=(2+2)+(3+(-3\left)\right)i=4+0i=4=2a$

حاصل ضربهما = a²+b²

^{$(2+3i)(2-3i)=4-6i+6i-9i^2=4+9=13$}

العددان مترافقان.

(6)- $x\in C$ وكان $\overline{x}$ مرافق له، جد العدد المركب $x$ إذا كان $2x+\overline{x}=5i-4$

$x=a+bi , \overline{x}=a-bi$

نعوض في المعادلة:

$\begin{array}{rl}& 2(a+bi)+a-bi=5i-4\Rightarrow 2a+2bi+a-bi=5i-4\\ & 3a+bi=5i-4\end{array}$

باستخدام خاصية التساوي:

$$\begin{gathered} 3a+bi=-4+5i \\ 3a=-4\Rightarrow a=\frac{-4}{3} , b=5 \end{gathered}$$

(7)- إذا كان $x=\frac{4+2i}{1+i} , y=\frac{1-i}{i}$ أثبت أن $x+y=2-2i$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{LHS}}\text{: }x+y=\frac{4+2i}{1+i}+\frac{1-i}{i} \\ \begin{array}{rl}& =\frac{4+2i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}+\frac{1-i}{i}\cdot \frac{-i}{-i}\\ & =\frac{4-4i+2i-2i^2}{1+1}+\frac{(-i-1)}{-i^2}=\frac{6-2i}{2}+\frac{(-i-1)}{1}=\frac{6}{2}-\frac{2i}{2}+(-i-1)\\ & =3-i+(-1-i)=2-2i :\mathbf{\text{RHS}}\end{array} \\ \mathbf{LHS}=\mathbf{RHS} \end{gathered}$$