تمارين (2-1)

(1)- حل المعادلات التربيعية الآتية وبين أي منهما يكون جذران مترافقان:

$z^2=12$

$z^2=12i^2\Rightarrow z=\sqrt{12i^2}\Rightarrow z=\pm 2\sqrt{3}i$

جذران مترافقان.

$2z^2-5z+13=0$

$\begin{array}{rl}& a=2 , b=-5 , c=13\\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{25-4\times 2\times 13}}{2\times 2}=\frac{5\pm \sqrt{25-104}}{4}\\ & x=\frac{5\pm \sqrt{-79}}{4}\end{array}$

إما:

$x=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{79}i}{4}$

أو:

$x=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{79}i}{4}$

جذران مترافقان.

$z^2+2z+i(2-i)=0$

$$\begin{gathered} a=1 , b=2 , c=i(2-i)=2i-i^2=2i+1 \\ z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\left(1\right)(2i+1)}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-8i-4}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{-8i}}{2} \end{gathered}$$

نجد قيمة الجذر:

$\begin{array}{rl}& z=\frac{-2\pm \sqrt{0-8i}}{2}\dots \dots \left(1\right)\\ & [\sqrt{0-8i}=a+bi]\end{array}$

بتربيع الطرفين:

$$\begin{gathered} (a+bi{)}^2=0-8i \\ \begin{array}{rl}& [\sqrt{0-8i}=a+bi]\\ & (a^2-b^2)+2abi=0-8i\\ & a^2-b^2=0\dots \dots \left(2\right)\\ & -8=2ab\Rightarrow a=\frac{-8}{2b}\Rightarrow a=\frac{-4}{b}\dots \dots \left(a\right)\\ & {\left(\frac{-4}{b}\right)}^2-b^2=0\Rightarrow [\frac{16}{b^2}-b^2=0]\times -b^2\\ & b^4-16=0\Rightarrow (b^2+4)(b^2-4)=0\end{array} \end{gathered}$$

إما:

$b^2+4=0\Rightarrow b^2=-4$ تهمل.

أو:

$b^2-4=0\Rightarrow b^2=4\Rightarrow b=\pm 2$

نعوض في معادلة (3)

$\begin{array}{ll}a=\frac{-4}{2}=-2& \left(b=2\right)\\ a=\frac{-4}{-2}=2& \left(b=-2\right)\end{array}$

$-2+2i , 2-2i$

إما:

$z=\frac{-2+2-2i}{2}=\frac{-2i}{2}=-i$

أو:

$z=\frac{-2-2+2i}{2}=\frac{-4+2i}{2}=\frac{-4}{2}+\frac{2i}{2}=-2+i$

الجذران غير مترافقان $\{-i,-2+i\}$

$4z^2+25=0$

$$\begin{gathered} 4z^2=-25\Rightarrow z^2=\frac{-25}{4}\Rightarrow z^2=\frac{25i^2}{4}\Rightarrow z=\sqrt{\frac{25i^2}{4}} \\ z=\pm \frac{5i}{2} \end{gathered}$$

مجموعة الحل $\{-\frac{5i}{2},\frac{5i}{2}\}$ والجذران مترافقان.

$z^2-2zi+3=0$

• ط1:

$z^2-2zi+3=0\Rightarrow z^2-2zi-3i^2=0\Rightarrow (z-3i)(z+i)=0$

إما:

$z-3i=0\Rightarrow z=3i$

أو:

$z+i=0\Rightarrow z=-i$

مجموعة الحل $\{-i,3i\}$ والجذران غير مترافقان.

• ط2:

$$\begin{gathered} a=1 , b=-2i , c=3 \\ \begin{array}{rl}& z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow z=\frac{-(-2i)\pm \sqrt{-4-\left(4\right)\left(1\right)\left(3\right)}}{2\left(1\right)}\\ & z=\frac{2i\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{2i\pm 4i}{2}=i\pm 2i\\ & z=i+2i=3i , z=i-2i=-i\end{array} \end{gathered}$$

مجموعة الحل $\{-i,3i\}$ والجذران غير مترافقان.

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها $M,L$ حيث:

$M=1+2i ,\hspace{0.17em}L=1-i$

مجموع الجذرين:

$(1+2i)+(1-i)=(1+1)+(2-1)i=2+i$

ضرب الجذرين:

$(1+2i)(1-i)=1-i+2i-2i^2=3+i$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$\therefore x^2-(2+i)x+(3+i)=0$}

^{$M=\frac{3-i}{1+i} , L=(3-2i{)}^2$}

^{$\begin{array}{rl}& M=\frac{3-i}{1+i}=\frac{3-i}{1+i}\times \frac{1-i}{1-i}=\frac{3-3i-i+i^2}{1^2+1^2}=\frac{2-4i}{2}\Rightarrow M=1-2i\\ & L=(3-2i{)}^2=9-12i+4i^2=5-12i\Rightarrow L=5-12i\end{array}$}

مجموع الجذرين:

$(1-2i)+(5-12i)=(1+5)+(-2-12)i=6-14i$

ضرب الجذرين:

$(1-2i)(5-12i)=5-12i-10i+24i^2=-19-22i$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$\therefore x^2-(6-14i)x+(-19-22i)=0$}

(3)- جد الجذور التربيعية للأعداد المركبة الآتية:

$-6i$

$a+bi=\sqrt{-6i}$

بتربيع الطرفين:

$$\begin{gathered} (a+bi{)}^2=-6i \\ \begin{array}{rl}& a^2+2abi+b^2{i}^2=-6i\Rightarrow (a^2-b^2)+\left(2ab\right)i=0-6i\\ & a^2-b^2=0\dots \dots \left(1\right)\\ & 2ab=-6\Rightarrow b=\frac{-6}{2a}\Rightarrow b=\frac{-3}{a}\dots \dots \left(2\right)\\ & a^2-{\left(\frac{-3}{a}\right)}^2=0\Rightarrow a^2-\frac{9}{a^2}=0\stackrel{(a^2\times )}{⟹}{a}^4-9=0\\ & a^4-9=0\Rightarrow (a^2-3)(a^2+3)=0\end{array} \end{gathered}$$

إما:

$$\begin{gathered} a^2-3=0\Rightarrow a^2=3\Rightarrow a=\pm \sqrt{3} \\ b=\frac{-3}{a}\Rightarrow b=\frac{-3}{\pm \sqrt{3}}\Rightarrow b=\mp \sqrt{3} \end{gathered}$$

أو:

$a^2+3=0\Rightarrow a^2=-3$ تهمل.

الجذران هما $-\sqrt{3}+\sqrt{3}i , \sqrt{3}-\sqrt{3}i$

$7+24i$

$a+bi=\sqrt{7+24i}$

بتربيع الطرفين:

$$\begin{gathered} (a+bi{)}^2=7+24i \\ \begin{array}{rl}& a^2+2abi+b^2{i}^2=7+24i\Rightarrow (a^2-b^2)+\left(2ab\right)i=7+24i\\ & a^2-b^2=7\dots \dots \left(1\right)\\ & 2ab=24\Rightarrow b=\frac{24}{2a}\Rightarrow b=\frac{12}{a}\dots \dots \left(2\right)\\ & a^2-{\left(\frac{12}{a}\right)}^2=7\Rightarrow a^2-\frac{144}{a^2}=7\stackrel{(a^2\times )}{⟹}{a}^4-144=7a^2\\ & a^4-7a^2-144=0\Rightarrow (a^2-16)(a^2+9)=0\end{array} \end{gathered}$$

إما:

$$\begin{gathered} a^2-16=0\Rightarrow (a+4)(a-4)=0\Rightarrow a=\pm 4 \\ b=\frac{12}{a}\Rightarrow b=\frac{12}{4}=3 \\ b=\frac{12}{a}\Rightarrow b=\frac{12}{-4}=-3 \end{gathered}$$

أو:

$a^2+9=0\Rightarrow a^2=-9$ تهمل.

الجذران هما $4+3i , -4-3i$

$\frac{4}{1-\sqrt{3}i}$

يجب تحويله إلى الصيغة $a+bi$ عن طريق الضرب بمرافق المقام.

$\begin{array}{rl}& \frac{4}{1-\sqrt{3}i}=\frac{4}{1-\sqrt{3}i}\times \frac{1+\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i}=\frac{4(1+\sqrt{3}i)}{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{4(1+\sqrt{3}i)}{1+3}\\ & \frac{4(1+\sqrt{3}i)}{4}=1+\sqrt{3}i\\ & a+bi=\sqrt{1+\sqrt{3}i}\end{array}$

بتربيع الطرفين:

$$\begin{gathered} (a+bi{)}^2=1+\sqrt{3}i \\ \begin{array}{rl}& a^2+2abi+b^2{i}^2=1+\sqrt{3}i\Rightarrow (a^2-b^2)+\left(2ab\right)i=1+\sqrt{3}i\\ & a^2-b^2=1\dots \dots \left(1\right)\\ & 2ab=\sqrt{3}\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{2b}\dots \dots \left(2\right)\\ & {\left(\frac{\sqrt{3}}{2b}\right)}^2-b^2=1\Rightarrow \frac{3}{4b^2}-b^2=1\stackrel{(4b^2\times )}{⟹}3-4b^4=4b^2\\ & 4b^4+4b^2-3=0\Rightarrow (2b^2+3)(2b^2-1)=0\end{array} \end{gathered}$$

إما:

$$\begin{gathered} 2b^2-1=0\Rightarrow 2b^2=1\Rightarrow b^2=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ a=\frac{\sqrt{3}}{2b}\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{2(\pm \frac{1}{\sqrt{2}})}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{2}(\pm \frac{1}{\sqrt{2}})}\Rightarrow a=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

أو:

$2b^2+3=0\Rightarrow 2b^2=-3$ تهمل.

الجذران هما $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i , -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i$

(4)- ما المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية وأحد جذريها هو:

$i$

المعاملات أعداد حقيقية لذا فإن الجذر الآخر هو المرافق وهو i-

مجموع الجذرين:

$0+i+0+(-i)=(0+0)+(1-1)i=0+0i$

ضرب الجذرين:

$i\cdot (-i)=-i^2=-(-1)=1$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$$\begin{gathered} \therefore x^2-\left(0\right)x+\left(1\right)=0 \\ {x}^2+1=0 \end{gathered}$$}

^$5-i$

المعاملات أعداد حقيقية لذا فإن الجذر الآخر هو المرافق وهو $5+i$

مجموع الجذرين:

$(5-i)+(5+i)=(5+5)+(-1+1)i=10$

ضرب الجذرين:

$(5-i)(5+i)=25+1=26$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$\therefore x^2-10x+25=0$}

^{$\frac{\sqrt{2}+3i}{4}$}

المعاملات أعداد حقيقية لذا فإن الجذر الآخر هو المرافق وهو $\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{3}{4}i$

مجموع الجذرين:

$(\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{3}{4}i)+(\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{3}{4}i)=(\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4})+(\frac{3}{4}-\frac{3}{4})i=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

ضرب الجذرين:

$(\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{3}{4}i)\cdot (\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{3}{4}i)={\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{2}{16}+\frac{9}{16}=\frac{11}{16}$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$\therefore x^2-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{11}{16}=0$}

(5)- إذا كان $3+i$ هو أحد جذري المعادلة $x^2-ax+(5+5i)=0$ فما قيمة $a\in \mathrm{ℂ}$؟ وما قيمة الجذر الآخر؟

نفرض الجذر الآخر هو K

مجموع الجذرين:

$(3+i)+k=a$

ضرب الجذرين:

$(3+i)k=5+5i$

$$\begin{gathered} k=\frac{5+5i}{3+i}=\frac{5+5i}{3+i}\times \frac{3-i}{3-i}=\frac{15-5i+15i-5i^2}{3^2+1^2}=\frac{20+10i}{10}=2+i\Rightarrow \therefore k=2+i \\ \because (3+i)+k=a\Rightarrow (3+i)+(2+i)=a\Rightarrow a=5+2i \end{gathered}$$