تساوي عددين مركبين

إذا كان ${\mathrm{C}}_2={\mathrm{a}}_2+{\mathrm{b}}_{2}i , {\mathrm{C}}_1={\mathrm{a}}_1+{\mathrm{b}}_{1}i$ فإن ${\mathrm{C}}_1={\mathrm{C}}_2\iff {\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_2,{\mathrm{b}}_1={\mathrm{b}}_2$

أي إذا تساوى عددين مركبين فإن الجزء الحقيقي والجزء التخيلي متساوين.

(1)- جد $a,b$ إذا علمت أن $a+bi=-13-2i$

باستخدام خاصية التساوي:

• الجزء التخيلي b=-2
• الجزء الحقيقي a=-13

(2)- جد قيمة $x,y$ الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

$2x-3+5i=7+(3y+3)i$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{array}{r}2x-3=7\Rightarrow 2x=7+3\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5\\ 3y+3=5\Rightarrow 3y=5-3\Rightarrow 3y=2\Rightarrow y=\frac{2}{3}\end{array}$

$2x+3y+15i=6+(3x+4y)i$

باستخدام خاصية التساوي

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 2x+3y=6\dots \dots \dots \dots \left(1\right)]\times 3\\ & 3x+4y=15\dots \dots \left(2\right)]\times 2\\ & 6x+9y=18\dots \dots \dots \dots \left(3\right)\end{array} \\ \mp 6x\mp 8y=\mp 30\dots .\left(4\right) \end{gathered}$$

نعوض في (1) y=-12

$$\begin{gathered} 2x+3(-12)=6 \\ 2x-36=6\Rightarrow 2x=6+36\Rightarrow 2x=42\stackrel{÷2}{\Rightarrow }x=21 \end{gathered}$$

$(2y+1)-(2x-1)i=-8+3i$

باستخدام خاصية التساوي:

الجزء الحقيقي:

$\begin{array}{rl}& 2y+1=-8\Rightarrow 2y=-8-1\\ & 2y=-9\therefore y=\frac{-9}{2}\end{array}$

الجزء التخيلي:

$\begin{array}{rl}& -(2x-1)=3\Rightarrow -2x+1=3\Rightarrow -2x=3-1\\ & -2x=2\stackrel{÷-2}{⟹}\therefore x=-1\end{array}$

$x^2-2xyi-y^2=4i-3$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{array}{rl}& x^2-y^2-2xyi=-3+4i\\ & x^2-y^2=-3\dots \dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & -2xy=4\dots \dots \dots \dots \dots \left(2\right)\end{array}$

من معادلة (2) نحصل على y لنعوضها في معادلة (1)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& y=\frac{4}{-2x}=\frac{-2}{x}\\ & x^2-{\left(\frac{-2}{x}\right)}^2=-3\end{array} \\ \begin{array}{rl}& x^2-\frac{4}{x^2}=-3]\cdot x^2\Rightarrow x^4-4=-3x^2\Rightarrow x^4+3x^2-4=0\\ & (x^2+4)(x^2-1)=0\end{array} \end{gathered}$$

أما $x^2+4=0$ تهمل

$x^2=-4$ لا يمكن حلها في R

أو $$\begin{gathered} x^2-1=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\mp 1 \\ \begin{array}{ll}y=\frac{-2}{1}=-2& \left(x=1\right)\\ y=\frac{-2}{-1}=2& \left(x=-1\right)\end{array} \end{gathered}$$