حل المعادلات التربيعية في C

كل معادلة تربيعي لا يمكن حلها بطريقة التجربة فهي تحل بطريقة الدستور فمثلاً:

$a{x}^2+bx+c=0$

حيث $a,b,c\in R , a\ne 0$ فإن $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ونلاحظ أنه إذا كان مقدار المميز $(b^2-4ac)$ سالباً فإن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلة تنتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة ويوجد نوعان من حل المعادلات التربيعية.

النوع الأول: المميز لا يحتوي على (i)

(1)- حل المعادلة التربيعية $x^2+4x+5=0$ في مجموعة الأعداد المركبة.

حسب قانون الدستور فإن $a=1 , b=4 , c=5$

$\begin{array}{rl}& x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & x=\frac{-4\pm \sqrt{16-4\left(1\right)\left(5\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{-4\pm \sqrt{16-20}}{2}=\frac{-4\pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{-4\pm \sqrt{4(-1)}}{2}\\ & x=\frac{-4\pm \sqrt{4i^2}}{2}=\frac{-4\pm 2i}{2}\Rightarrow x=-2\pm i\end{array}$

مجموعة الحل $\{-2-i,-2+i\}$

ملاحظة: من قانون الدستور نعلم أن جذري المعادلة التربيعية $a{x}^2+bx+c=0$ التي معاملاتها الحقيقية هي:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} , x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

مجموع الجذرين:

$x_1+x_2=\frac{-2b}{2a}\Rightarrow x_1+x_2=\frac{-b}{a}$

حاصل ضرب الجذرين:

$x_1\cdot x_2=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\Rightarrow x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

ويمكن الاستفادة من الخاصية أعلاه في إيجاد الجذور التربيعية وكما يلي:

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

(2)- جد المعادلة التربيعية التي جذراها $\pm (2+2i)$

^{نتبع صيغة المعادلة أعلاه في التطبيق.}

^{مجموع الجذرين:}

^{$(2+2i)+(-2-2i)=(2-2)+(2-2)i=0+0i$}

^{ضرب الجذرين:}

$(2+2i)(-2-2i)=-4-4i-4i-4i^2=-4-8i+4=-8i$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

$x^2-\left(0\right)x+(-8i)=0\Rightarrow x^2-8i=0$

ملاحظة: عندما يعطى في السؤال كون المعادلة التربيعية التي (معاملاتها حقيقية) وأحد جذريها مثلاً $a-bi$ فسيكون الجذر الثاني مرافق الجذر الأول $a+bi$.

(3)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية أو أحد جذريها $3-4i$

بما أن معاملات المعادلة حقيقة وأحد الجذرين $3-4i$ فإن الجذر الآخر هو المرافق ويساوي $3+4i$.

مجموع الجذرين:

$(3-4i)+(3+4i)=(3+3)+(-4+4)i=6$

ضرب الجذرين:

$(3+4i)(3-4i)=9-12i+12i-16i^2=9+16=25$

طريقة أخرى في الحل:

في مثل هذه الأسئلة نعتمد على قواعد المرافق للعدد المركب وكما يأتي:

$\text{C.}\overline{C}=a^2+b^2 , C+\overline{C}=2a$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

$x^2-6x+25=0$

(4)- جد مجموعة الحل للمعادلة $x^4+10x^2+9=0$

ملاحظة: لا يحل السؤال التالي $x^4+10x^2+9=0$ بالتجربة إذا أصبح بهذه الصورة $x^4+10x^2-9i^2=0$ لأن الحد الوسط لا يحتوي على (i)، لذلك نقوم بحله مباشرة بطريقة التجربة.

والناتج من عملية التجربة نستخدم معه الطريقة السابقة وهي إضافة i² لغرض تحليل الأقواس الناتجة من التجربة.

$\begin{array}{rl}& x^4+10x^2+9=0\\ & (x^2+9)(x^2+1)=0\\ & (x^2-9i^2)(x^2-i^2)=0\\ & (x+3i)(x-3i)(x+i)(x-i)=0\end{array}$

إما:

$x+3i=0\Rightarrow x=-3i$

أو:

$x-3i=0\Rightarrow x=3i$

$\begin{array}{rl}& x+i=0\Rightarrow x=-i\\ & x-i=0\Rightarrow x=i\end{array}$

مجموعة الحل $\{3i,-3i,i,-i\}$

(5)- جد مجموعة الحل للمعادلة $x^2-6x+13=0$

في مثل هذه الأنواع من المعادلات التي لا تتحلل بأي نوع من التحاليل لذا نستخدم (طريقة الدستور).

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

حيث $a=1 , b=-6 , c=13$ تعوض في قانون الدستور.

$\begin{array}{rl}& x=\frac{6\pm \sqrt{36-\left(4\right)\left(1\right)\left(13\right)}}{2\left(1\right)}\\ & x=\frac{6\pm \sqrt{36-52}}{2}\Rightarrow x=\frac{6\pm \sqrt{-16}}{2}\Rightarrow x=\frac{6}{2}\pm \frac{4i}{2}\Rightarrow x=3\pm 2i\end{array}$

مجموعة الحل للمعادلة في C جذران مترافقان $\{3+2i,3-2i\}$

(6)- جد مجموعة حل المعادلة $x^2+4x+5=0$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

حيث $a=1 , b=4 , c=5$ تعوض في قانون الدستور.

$$\begin{gathered} x=\frac{-4\pm \sqrt{16-\left(4\right)\left(1\right)\left(5\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{-4\pm \sqrt{16-20}}{2}=\frac{-4\pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{-4\pm 2i}{2}=-2\pm i \\ x=-2-i , x=-2+i \end{gathered}$$

مجموعة الحل $\{-2-i,-2+i\}$

(7)- جد مجموعة حل المعادلة $x^3-8i=0$

$\because -i=i^3$

$\begin{array}{rl}& x^3+8i^3=0\\ & (x+2i)(x^2-2ix-4)=0\end{array}$

إما:

$(x+2i)=0\Rightarrow x=-2i$

أو:

$(x^2-2ix-4)=0 \Rightarrow a=1 , b=-2i , c=-4$

$\begin{array}{rl}& x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & x=\frac{2i\pm \sqrt{-4-\left(4\right)(-4)}}{2\left(1\right)}\\ & x=\frac{2i\pm \sqrt{-4+16}}{2}\Rightarrow x=\frac{2i\pm \sqrt{12}}{2}\\ & x=\frac{2i\pm 2\sqrt{3}}{2}=\frac{2i}{2}\pm \frac{2\sqrt{3}}{2}\end{array}$

إما:

$x=i+\sqrt{3}$

أو:

$x=i-\sqrt{3}$

مجموعة الحل $\{\sqrt{3}+i,-\sqrt{3}+i,-2i\}$

ملاحظة: إذا علمت من المعادلة جذراها أي (جد المعادلة التربيعية إذا علم جذراها) هذه الحالة هي عكس الأمثلة السابقة يعني الجذور معطاة والمطلوب حل المعادلة.

(8)- جد المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذريها النظير الضربي للعدد المركب $\frac{10-5i}{2+i}$

نستخرج النظير الضربي للعدد $\frac{10-5i}{2+i}$ هو $\frac{2+i}{10-5i}$

ويستخدم في الحل الضرب بالمرافق للمقام $\frac{2+i}{10-5i}\times \frac{10+5i}{10+5i}$

$\begin{array}{rl}& =\frac{20+10i+10i+5i^2}{(10{)}^2+(10{)}^2}\\ & =\frac{(20-5)+(10+10)i}{100+25}\\ & =\frac{15+20i}{125}=\frac{15}{125}+\frac{20}{125}i\end{array}$

الجذر الأول $(\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i)$

الجذر الثاني (المرافق) $(\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i)$

جمع الجذرين:

$\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i+\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i=\frac{6}{25}$

ضرب الجذرين:

$(\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i)(\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i)={\left(\frac{3}{25}\right)}^2+{\left(\frac{4}{25}\right)}^2=\frac{9}{625}+\frac{16}{625}=\frac{25}{625}=\frac{1}{25}$

$x^2-\frac{6}{25}x+\frac{1}{25}=0\Rightarrow 25x^2-6x+1=0$

ملاحظة: سنضرب الكسر في المرافق لنتخلص من المقام وبعدها يكون لدينا عدد مركب نفتح التربيع ويبسط ونجعله عدد مركب واحد، فمثلاً إذا كان لدينا الكسر الآتي ${\left(\frac{2+5i}{3+2i}\right)}^2$.

(9)- $2x^2+ax+b=0$ هي المعادلة التربيعية التي أحد جذريها $3+i$ جد قيمة $a,b$ التي تنتمي إلى $R$

لم يذكر معاملات حقيقية هنا وعوض عنها بأنها تنتمي إلى R لذلك أحد جذريها $3+i$ إذن الجذر الآخر $3-i$ أي (المرافق).

$x^2-ax+b=0$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

جمع الجذرين:

$3+i+3-i=6$

ضرب الجذرين:

$(3+i)(3-i)=9+1=10$

المعادلة الأصلية فيها 2 معامل x² لذلك نضرب كل من مجموع الجذرين وحاصل ضربهما في 2 لأن المعادلة الأصلية هي: $2x^2+ax+b=0$

$\begin{array}{rl}& 2\times 6=12\\ & 2\times 10=20\\ & 2x^2-12x+20=0\\ & a=-12 , b=20\end{array}$

النوع الثاني: المميز يحتوي على (i)

(10)- جد مجموعة حل المعادلة $z^2-3z+3+i=0$

$a=1 , b=-3 , c=(3+i)$$\begin{array}{rl}& x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & z=\frac{3\pm \sqrt{9-4\left(1\right)(3+i)}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{9-12-4i}}{2}\\ & z=\frac{3\pm \sqrt{-3-4i}}{2}\dots \dots \left(1\right)\end{array}$

بتربيع الطرفين:

$\begin{array}{rl}& [\sqrt{-3-4i}=a+bi]\\ & -3-4i=(a+bi{)}^2\\ & -3-4i=(a^2-b^2)+2abi\\ & a^2-b^2=-3\dots \dots ..\left(2\right)\\ & 2ab=-4\Rightarrow b=\frac{-4}{2a}\Rightarrow b=\frac{-2}{a}\dots \dots .\left(3\right)\end{array}$

نعوض في معادلة (2)

$\begin{array}{rl}& a^2-\frac{4}{a^2}=-3]\times a^2\\ & a^4-4=-3a^2\Rightarrow a^4+3a^2-4=0\\ & (a^2+4)(a^2-1)=0\end{array}$

إما:

$a^2+4=0\Rightarrow a^2=-4$ تهمل.

أو:

$a^2-1=0\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=\pm 1$

نعوض في معادلة (3)

$\begin{array}{ll}b=\frac{-2}{1}=-2& \left(a=1\right)\\ b=\frac{-2}{-1}=2& \left(a=-1\right)\end{array}$

$1-2i , -1+2i$

إما:

$z=\frac{3+1-2i}{2}=\frac{4-2i}{2}=2-i$

أو:

$z=\frac{3-1+2i}{2}=\frac{2+2i}{2}=1+i$

مجموعة الحل $\{2-i,1+i\}$ والجذران غير مترافقان.