أمثلة إضافية محلولة

(1)- لتكن $f\left(x\right)=3x^2-4x$ ولتكن $f:[0,3]\to R$أوجد قيمة تقريبية للتكامل باستخدام التجزئة $\sigma =(0,1,2,3)$ أو باستخدام ثلاث تجزئات متساوية.

$$\begin{gathered} \because f\left(x\right)=3x^2-4x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=6x-4\Rightarrow 6x=4\Rightarrow x=\frac{2}{3}\in [0,1] \\ \text{if }x=\frac{2}{3}\Rightarrow f\left(0\right)=0f\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{4}{3}f\left(1\right)=-1\Rightarrow m_i=-\frac{4}{3} \mathrm{قيمة} \mathrm{أصغر} \\ {M}_i=0 \mathrm{قيمة} \mathrm{أكبر} \\ h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-0}{3}=\frac{3}{3}=1 \end{gathered}$$

الفترات $[0,1],[1,2],[2,3]$

$\begin{array}{rl}& \therefore L(\sigma ,f)=\sum h_i{m}_i=-\frac{4}{3}-1+4=\frac{5}{3},U(\sigma ,f)=\sum h_i{M}_i=0+4+15=19\\ & {\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=\frac{L(\sigma ,f)+U(\sigma ,f)}{2}=\frac{\frac{5}{3}+19}{2}=\frac{\left(\frac{5+57}{3}\right)}{2}=\frac{\left(\frac{62}{3}\right)}{2}=\frac{62}{3}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{31}{3}\end{array}$