تمارين (2-4)

(1)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل ${\int }_1^3\frac{3}{x}dx$ باستخدام التجزئة $\sigma =(1,2,3)$

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,3]

$\because f\left(x\right)=\frac{3}{x}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{-3}{x^2}\Rightarrow 0=\frac{-3}{x^2}\Rightarrow -3\ne 0$

$\begin{array}{rl}& L(\sigma ,f)=\sum h_i{m}_i=1+\frac{3}{2}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2},\mathrm{U}(\sigma ,f)=\sum h_i{M}_i=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\\ & {\int }_1^3\frac{3}{x}dx=\frac{L(\sigma ,f)+U(\sigma ,f)}{2}=\frac{\frac{5}{2}+\frac{9}{2}}{2}=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}\end{array}$

(2)- لتكن $f[1,4]\to R,f\left(x\right)=3x-3$ أوجد قيمة التكامل ${\int }_1^{4}f\left(x\right)dx$ باستخدام التجزئة $\sigma =(1,2,3,4)$ ثم تحقق هندسياً بحساب المنطقة تحت المنحني $f$.

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,4] لأنها كثيرة حدود.

لا توجد نقطة حرجة والدالة متزايدة $\because f\left(x\right)=3x-3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3>0$

$\therefore L(\sigma ,f)=\sum h_i{m}_i=9U(\sigma ,f)=\sum h_i{M}_i=18$

${\int }_1^3(3x-3)dx=\frac{L(\sigma ,f)+U(\sigma ,f)}{2}=\frac{9+18}{2}=\frac{27}{2}=13\frac{1}{2}$

الحل الهندسي:

$\begin{array}{rl}& f\left(1\right)=3-3=0⟹(1,0)\\ & f\left(4\right)=12-3=9⟹(4,9)\\ & A \mathrm{مساحة}=\frac{1}{2}(\mathrm{الارتفاع}\times \mathrm{القاعدة})\\ & A \mathrm{مساحة}=\frac{1}{2}\left(\right(4-1)\times 9)=\frac{27}{2}=13\frac{1}{2}\end{array}$

(3)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل ${\int }_2^4(3x^2-3)dx$ باستخدام التجزئة $\sigma =(2,3,4)$

• الفترات $[2,3],[3,4]$
• الدالة متزايدة $\because f\left(x\right)=3x^2-3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=6x\Rightarrow 6x=0\Rightarrow x=0\notin [2,4]$

$\begin{array}{rl}& \therefore L(\sigma ,f)=\sum h_i{m}_i=33U(\sigma ,f)=\sum h_i{M}_i=69\\ & {\int }_2^4(3x^2-3)dx=\frac{L(\sigma ,f)+U(\sigma ,f)}{2}=\frac{33+69}{2}=\frac{102}{2}=51\end{array}$

(4)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل ${\int }_{-3}^{2}f\left(x\right)dx$ حيث $f\left(x\right)=-4$

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [3,2-] لأنها كثيرة حدود.

$\because f\left(x\right)=-4⟹f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0$

$\therefore L(\sigma ,f)=\sum h_i{m}_i=-20,U(\sigma ,f)=\sum h_i{M}_i=-20$

أو تحل حسب التجزيئات التالية:

$\begin{array}{rl}& \therefore L(\sigma ,f)=\sum h_i{m}_i=-20U(\sigma ,f)=\sum h_i{M}_i=-20\\ & {\int }_{-3}^2(-4)dx=\frac{L(\sigma ,f)+U(\sigma ,f)}{2}=\frac{-20-20}{2}=\frac{-40}{2}=-20\end{array}$

(5)- أوجد قيمة التكامل ${\int }_1^5{x}^{3}dx$ باستخدام أربعة تجزيئات ممكنة.

لا توجد نقطة حرجة والدالة متزايدة $\because f\left(x\right)=x^3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2\Rightarrow 3x^2>0$

$h=\frac{b-a}{n}=\frac{5-1}{4}=\frac{4}{4}=1$

الفترات $[1,2],[2,3],[3,4],[4,5]$

$\begin{array}{rl}& \therefore L(\sigma ,f)=\sum h_i{m}_i=100\mathrm{U}(\sigma ,f)=\sum h_i{M}_i=224\\ & {\int }_1^5(-4)dx=\frac{L(\sigma ,f)+U(\sigma ,f)}{2}=\frac{100+224}{2}=\frac{324}{2}=162\end{array}$