المناطق المحددة بمنحنيات

هناك مناطق مستوية يمكن إيجاد مساحتها مثل المستطيل، المثلث، شبه المنحرف الدائرة.. إلخ. ولكن هناك أشكال تسمى مناطق مضلعة لا يمكن إيجاد مساحتها إلا بتقسيمها إلى مناطق مثلثة أو مربعة او مستطيلة . .... إلخ.

أما المنطقة $A$ والتي تسمى منطقة تحت المنحني $f$ وهي مجموعة النقاط المحصورة بين المنحني (بيان الدالة $f$) والمستقيمين $y = b , x = a$ ومحور السينات فلا يمكن تقسيمها إلى مناطق معلومة (مثلث، مستطيل، دائرة .... إلخ)

لذلك كيف يمكن حساب مساحتها؟

إيجاد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة المستوية:

اذا كانت $f$ دالة (منحني) وكانت $\left(A\right)$ المنطقة المحصورة بينها وبين الإحداثي السيني في الفترة $[a,b]$ كما هو مبين الشكل أدناه، فيمكننا إيجاد مساحة المنطقة $\left(A\right)$ المحددة بالرسم.

ملاحظات:

1. نرسم مستطيلاً من أدنى نقطة في المنحني ضمن الفترة $[a,b]$ وترمز له بالرمز $\left(A_1\right)$
2. نرسم مستطيلاً من أعلى نقطة في المنحتي ضمن الفترة $[a,b]$ وترمز له بالرمز $\left(A_2\right)$
3. توجد مساحة المنطقتين المستطيلتين $\left(A_1\right)$ و$\left(A_2\right)$
4. المطلوب هو حساب القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ بالاعتماد على القانون $A\approx \frac{A_1+A_2}{2}$
5. مساحة أي منطقة هي عدد حقيقي غير سالب
6. $A_1\subseteq \mathrm{A}\subseteq A_2$، $A_2 \mathrm{مساحة} \ge A \mathrm{مساحة} \ge A_1 \mathrm{مساحة}$
7. نرمز لارتفاع المستطيل الصغير $\left(A_1\right)$ بالرمز $m$ حيث $m=f\left(a\right)$
8. نرمز لارتفاع المستطيل الكبير $\left(A_2\right)$ بالرمز $M$ حيث $M=f\left(b\right)$

(1)- أوجد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A=\left\{\right(x,y),2\le x\le 5,0\le y\le f(x),f(x)=\sqrt{x-1}\}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& h=5-2=3\\ & f\left(x\right)=\sqrt{x-1}\\ & m=f\left(2\right)=\sqrt{2-1}=1\\ & A_1=m\cdot h=\left(1\right)\left(3\right)=3 \mathrm{المستطيل} \mathrm{داخل}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& M=f\left(5\right)=\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2\\ & A_2=M\cdot h=2\left(3\right)=6 \mathrm{المستطيل} \mathrm{خارج}\\ & A=\frac{A_1+A_2}{2}=\frac{3+6}{2}=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2} {\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

(2)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A=\left\{\right(x,y):1\le x\le 2,f(x)=x^2+1\}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& h=2-1=1\\ & m=f\left(1\right)=(1{)}^2+1=2\\ & A_1=m\cdot h=2\left(1\right)=2 {\text{unit}}^2\text{المستطيل داخل}\\ & M=f\left(2\right)=(2{)}^2+1=5\end{array} \\ \begin{array}{rl}& A_2=M\cdot h=5\left(1\right)=5 uni{t}^2 \mathrm{المستطيل} \mathrm{خارج}\\ & A=\frac{A_1+A_2}{2}=\frac{2+5}{2}=3\frac{1}{2} uni{t}^2 \left(A \mathrm{للمنطقة} \mathrm{التقريبية} \mathrm{المساحة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(3)- أوجد قيمة تقريبية المساحة المنطقة $A$ حيث $A=\left\{\right(x,y):1\le x\le 3,f(x)=x^2+1\}$

$\begin{array}{rl}& h=3-1=2\\ & m=f\left(1\right)=(1{)}^2+1=2\\ & A_1=m\cdot h=2\left(2\right)=4{\text{unit}}^2\\ & M=f\left(3\right)=(3{)}^2+1=10\\ & A_2=M\cdot h=10\left(2\right)=20{\text{unit}}^2\\ & A=\frac{A_1+A_2}{2}=\frac{4+20}{2}=\frac{24}{2}=12{\text{unit}}^2\left(A \mathrm{للمنطقة} \mathrm{التقريبية} \mathrm{المساحة}\right)\end{array}$

(4)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A=\left\{\right(x,y):2\le x\le 5,f(x)=3x^2-2\}$

$\begin{array}{rl}& h=5-2=3\\ & m=f\left(2\right)=3(2{)}^2-2=10\\ & A_1=m\cdot h=10\left(3\right)=30{\text{unit}}^2\\ & M=f\left(5\right)=3(5{)}^2-2=73\\ & A_2=M\cdot h=73\left(3\right)=219{\text{unit}}^2\\ & A=\frac{A_1+A_2}{2}=\frac{30+219}{2}=\frac{249}{2}=124\frac{1}{2}{\text{unit}}^2\left(A \mathrm{للمنطقة} \mathrm{التقريبية} \mathrm{المساحة}\right)\end{array}$

مساحة المنطقة المستوية بدقة أكبر:

1. نجزأ الفترة المعطاة $[a,b]$ إلى فترات حسب الطلب وليكن عدد الفترات هو $\left(n\right)$ وبذلك يكون طول الفترة $h=\frac{b-a}{n}$ حيث يرمز للأعداد من $(1,2,\dots ,\mathrm{n})$ بالرمز $\delta$ (سكما) حيث أن $(\sigma =1,2,3\dots ,\mathrm{n})$
2. نحسب مساحة أكبر منطقة مستطيلة داخل $A$ حيث تساوي $(A_1+A_2+A_3+\cdots +A_n)$
3. نحسب مساحة أصغر منطقة مستطيلة داخل $A$ حيث تساوي $(\overline{A_1}+\overline{A_2}+\overline{A_3}+\cdots +\overline{A_n})$
4. نجد مساحة المنطقة $A$ حسب القانون التالي $A=\frac{\sum A_n+\sum A{\text{'}}_n}{N}$ ونلاحظ أنه كلما زادت عدد نقاط التجزئة فإن المحصلة النهائية تقل وتصبح القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ أكثر دقة.

(5)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A=\left\{\right(x,y):2\le x\le 5,y=x^2+1\}$ وذلك باستخدام التجزئة.

$$\begin{gathered} {\sigma }_1=(2,3,5) \\ {\sigma }_2=(2,3,4,5) \end{gathered}$$

• ${\sigma }_1(2,3,5)=[2,3]+[3,5]$

المستطيلات في الداخل:

$\begin{array}{rl}& m_1=f\left(2\right)=(2{)}^2+1=5\\ & m_2=f\left(3\right)=(3{)}^2+1=10\\ & A_1+A_2=(3-2)m_1+(5-3)m_2\\ & A_1+A_2=1\left(5\right)+2\left(10\right)=5+20=25\end{array}$

المستطيلات في الخارج:

$\begin{array}{rl}& M_1=f\left(3\right)=(3{)}^2+1=10\\ & M_2=f\left(5\right)=(5{)}^2+1=26\\ & A_1^{\mathrm{\prime }}+A_2^{\mathrm{\prime }}=(3-2)M_1+(5-3)M_2\\ & A_1^{\mathrm{\prime }}+A_2^{\mathrm{\prime }}=(3-2)\cdot 10+(5-3)\cdot 26=10+52=62\\ & \therefore A=\frac{25+62}{2}=\frac{87}{2}=43\frac{1}{2}uni{t}^2\end{array}$

• ${\sigma }_2=(2,3,4,5)=[2,3]+[3,4]+[4,5]$

المستطيلات في الداخل:

$\begin{array}{rl}& m_1=f\left(2\right)=(2{)}^2+1=5\\ & m_2=f\left(3\right)=(3{)}^2+1=10\\ & m_3=f\left(4\right)=(3{)}^2+1=17\\ & A_1+A_2+A_3=(3-2)m_1+(4-3)m_2+(5-4)m_3\\ & A_1+A_2+A_3=1\left(5\right)+1\left(10\right)+1\left(17\right)=32 {\text{unit}}^2\end{array}$

المستطيلات في الخارج:

$\begin{array}{rl}& M_1=f\left(3\right)=(3{)}^2+1=10\\ & M_2=f\left(4\right)=(4{)}^2+1=17\\ & M_3=f\left(5\right)=(5{)}^2+1=26\\ & A_1^{\mathrm{\prime }}+A_2^{\mathrm{\prime }}+A_3^{\mathrm{\prime }}=(3-2)M_1+(4-3)M_2+(5-4)M_3\\ & A_1^{\mathrm{\prime }}+A_2^{\mathrm{\prime }}+A_3^{\mathrm{\prime }}=1\left(10\right)+1\left(17\right)+1\left(26\right)=53 {\text{unit}}^2\\ & A=\frac{\sum A_n+\sum A_n}{N}⟹\therefore A=\frac{32+53}{2}=\frac{85}{2}=42\frac{1}{2} {\text{unit}}^2\end{array}$