تعريف التكامل

إذا كانت $f[a,b]\to R$ دالة مستمرة على الفترة $[a,b]$ فإنه يوجد عدد حقيقي وحيد $k$ بحيث لأي تجزئة $\left(\sigma \right)$ في الفترة $[a,b]$ فإن $L(\sigma ,f)\le K\le U(\sigma ,f)$

نسمي العدد $k$ التكامل المحدد للدالة $\left(f\right)$ على الفترة $[a,b]$ ونرمز له بالرمز ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ ويقرأ التكامل من $a$ إلى $b$ للدالة $\left(f\right)$ ونسمي $a,b$ حدي التكامل.

ملاحظات:

1. إذا كانت الدالة f مستمرة على الفترة $\left[a,b\right]$ فإن $\left\{L\right(\sigma ,f)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le U(\sigma ,f\left)\right\}$ وتكون القيمة التقريبية لهذا التكامل $\frac{L(\sigma ,f)+U(\sigma ,f)}{2}={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$
2. إذا كانت الدالة $\mathrm{\forall }x\in [a,b],f\left(x\right)\ge 0$ فإن ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ يعطي مساحة المنطقة A تحت المنحني f وهو عدد غير سالب. dx تشير إلى أن حدي التكامل، أما a,b قيمتان للمتغير x.
3. إذا كانت الدالة $\mathrm{\forall }x\in [a,b],f\left(x\right)\le 0$ فإن ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le 0$ وهذا لا يدل على المساحة، أما مساحة المنطقة فهي ستساوي $-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\left|{\int }_a^{b}f\right(x\left)dx\right|$
4. أن قيمة ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ تتوقف على الفترة $\left[a,b\right]$ وعلى قيمة f(x)

(1)- لتكن $f:[1,3]\to R,f\left(x\right)=x^2$، أوجد قيمة تقريبية للتكامل إذا جزئت الفترة $\left[1,3\right]$ إلى تجزئتين.

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,3] لأنها كثيرة حدود.

$\begin{array}{rl}& \because f\left(x\right)=x^2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2x\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0\notin [1,3]\\ & h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{2}=1\Rightarrow \sigma =(1,2,3),[1,2],[2,3]\end{array}$

الدالة متزايدة على الفترة [1,3]

${\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{L(\sigma ,f)+\mathrm{U}(\sigma ,f)}{2}=\frac{5+13}{2}=\frac{18}{2}=9 {\text{unit}}^2$

(2)- لتكن $f:[2,5]\to R,f\left(x\right)=2x-3$، أوجد ${\int }_2^{5}f\left(x\right)dx$

الدالة مستمرة في مجالها لأنها كثيرة حدود.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=2x-3\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2\ne 0\\ & \sigma =(2,3,5)\Rightarrow \sigma =[2,3],[3,5]\end{array}$

${\int }_2^5(2x-3)dx=\frac{7+17}{2}=12 {\text{unit}}^2$

ملاحظة: في التكامل إذا لم يذكر عدد التجزئة يمكن أخذ تجزئة منتظمة.

ملاحظة: في الدالة الثابتة $m_i=M_i$ لكل الفترات ويكون $L(\sigma ,f)=U(\sigma ,f)$ لكل فترة جزئية ولكل تجزئة.

(3)- لتكن $f\left(x\right)=3,f[1,5]\to R$، أوجد قيمة تقريبية للتكامل ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx$

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,5] لأنها كثيرة حدود.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=3\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\\ & \sigma =(1,3,5)\Rightarrow \sigma =[1,3],[3,5]\end{array}$

${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx=\frac{12+12}{2}=12 {\text{unit}}^2$