حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

تطبيقات عملية على القيم العظمى والصغرى

ظهرت في الفيزياء الكثير من المسائل التي أدت إلى تطور حساب التفاضل والتكامل ومن هذه المسائل مسائل حساب أقصى ارتفاع تصله قذيفة أطلقت بزوايا مختلفة أو أقصى ارتفاع يصله جسم مقذوف شاقولياً إلى الأعلى أو أقل كلفة أو أقل زمن ومسائل من الصناعات مثل أقل مساحة وأكبر حجم وأقل محيط ..... إلخ.

لحل المسائل المتعلقة بهذا الموضوع تتبع ما يأتي:

  1. نرسم شكلاً توضيحياً للسؤال إذا كان السؤال يحوي شكلاً هندسياً.
  2. تعمل فرضية السؤال التي تعتمد على كلمة (جد، ما هي، عين، احسب، ...) أي تكون الفرضية على أساس المطلوب.
  3. تكون علاقة رئيسية للدالة (أكبر ما يمكن، أبعد ما يمكن، أصغر ما يمكن، أطول مسافة، أقل كمية ....) ثم نبدأ بتكوين الدالة على أساس هذه الكلمات وأكثر الأحيان تكون هذه الدالة (قانون حجم، مساحة، محيط، فيثاغورس، تشابه مثلثات، دوال دائرية ....) أما العلاقة الثانية فهي تكون علاقة مساعدة نأخذها من السؤال أو الرسم.
  4. نشتق الدالة المشتقة الأولى ونساوي المشتقة الأولى إلى الصفر ونجد القيم ونميزها على خط الأعداد، بعض القيم تهمل إذا لم تنطبق مع السؤال أو المطلوب من خلال الإشارة مثلاً وفي بعض الأسئلة مثلاً يعطى المثلث فإذا كان المثلث خالي من مستقيم يوازي أحد الأضلاع تستخدم نظرية فيثاغورس، أما إذا كان المثلث يحوي مستقيم يوازي أحد الأضلاع نستخدم التناسب adab=aeac

الشكل

(1)- جد عددين مجموعهما 8 وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن.

الفرضية:

  • نفرض العدد الأول = x
  • نفرض العدد الثاني = y

الدالة: حاصل ضربهما = m

x+y=8y=8x(1)m=xym=x(8x)m=8xx2   نشتقm=82x   m=082x=02x=8x=4   1 في نعوض 

  • العدد الأول x=4
  • العدد الثاني y=8-4=4

(2)- جد العدد الذي إذا أضيف إلى مربعه يكون الناتج أصغر ما يمكن.

الفرضية:

  • نفرض العدد = x
  • نفرض مربعه = x2

الدالة: f(x)=x+x2

f(x)=1+2x(f(x)=0)1+2x=02x=12x2=12x=12

الشكل

(3)- جد بعدي أكبر مستطيل يمكن أن يوضع داخل مثلث طول قاعدته (24cm وارتفاعه 18cm بحيث أن رأسين متجاورين من رؤوسه تقعان على القاعدة والرأسين الباقيين تقعان على ساقيه.

الفرضية: نفرض بعدي المستطيل x,y

الدالة: مساحة المستطيل = حاصل ضرب بعديه.

A=xy

العلاقة: تشابه المثلثان btr, bcq (لتساوي زواياهما المتناظرة لذا تتناسب أضلاعهما المتناظرة وكذلك ارتفاعاهما).

trcq=babqy24=18x18y=2418(18x)y=43(18x)A=xy=x(43(18x))A=43(18xx2)dAdx=43(182x)(dAdx=0)[43(182x)=0]÷34182x=02x=18x=9y=43(189)=12

بعدي المستطيل هما 9,12

الشكل

(4)- صنع صندوق مفتوح من قطعة النحاس مربعة الشكل طول ضلعها 12cm وذلك بقص أربع مربعات متساوية الأبعاد من أركانها الأربعة ثم ثني الأجزاء البارزة منها، ما هو الحجم الأعظم لهذه العلبة؟

الفرضية:

  1. نفرض طول الضلع المربع المقطوع = x
  2. أبعاد الصندوق = (122x,122x,x)
  • الدالة: الحجم = حاصل ضرب الأبعاد الثلاثة.
  • العلاقة: لا نحتاج إلى علاقة لأن المعادلة تحتوي على متغير واحد.

v=(122x)(122x)xv=(14424x24x+4x2)xv=x(14448x+4x2)v=144x48x2+4x3dvdx=14496x+12x2(dvdx=0)[14496x+12x2=0]÷12x28x+12=0(x6)(x2)=0either x=6   يمكن لاor x=2v=2(124)2=128cm2

الشكل

الشكل

(5)- مخروط دائري قائم مولده 93cm جد ارتفاعه لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن.

الفرضية:

  1. نفرض ارتفاع المخروط = h
  2. نفرض نصف قطر المخروط = r
  • الدالة: حجم المخروط
  • العلاقة: نظرية فيثاغورس.

v=π3r2h   الدالةr2+h2=(93)2   العلاقةr2=243h2   الدالة في نعوضv=π3(243h2)hv=π3(243hh3)v=π3(2433h2)(v=0)[π3(2433h2)=0]÷π3[2433h2=0]÷381h2=0h2=81h=9cm   المخروط ارتفاع

الشكل

(6)- جد بعدي أكبر مثلث متساوي الساقين يمكن أن يوضع داخل دائرة نصف قطرها 12cm ثم برهن أن نسبة مساحة المثلث إلى مساحة الدائرة كنسبة 334π

الفرضية:

  1. نفرض ارتفاع المثلث = h
  2. نفرض طول قاعدة المثلث = 2x
  • الدالة: مساحة المثلث = 12 القاعدة × الارتفاع.
  • العلاقة: المثلث القائم الزاوية r2=(h12)2+x2

A=122xhA=xh(1)(12)2=(h224h+144)+x2144=h224h+144+x2h224h+x2=0x2=24hh2x=24hh2 ....2   1 في 2 نعوضA=h24hh2A=24h3h4dAdh=72h24h3224h3h4(dAdh=0)[72h24h3=0]÷418h2h3=0h2(18h)=0either  h2h=0   يهملor18h=0h=18   2 في نعوضx=24hh3x=24(18)(18)2=(18)(2418)=(18)(6)=108x=63cm2x=2(63)=123cm   القاعدة طولA=xh=63(18)=1083cm   المثلث مساحةA=πr2   الدائرة مساحةA=π(12)2=144πالمثلث مساحةالدائرة مساحة=1083144π=334π

الشكل

(7)- مجموع محيطي دائرة ومربع 60cm أثبت أنه عندما يكون مجموع مساحتي الشكلين أصغر ما يمكن، فإن طول قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع.

الفرضية:

  1. نفرض طول ضلع المربع = x
  2. نفرض نصف قطر الدائرة = r
  • الدالة: المساحة = مساحة المربع + مساحة الدائرة.
  • العلاقة: محيط المربع + محيط الدائرة = 60cm

A=x2+πr2[4x+2πr=60]÷22x+πr=30πr=302xr=302xπA=x2+πr2=x2+π(302xπ)2A=x2+1π(302x)2=x2+1π(900120x+4x2)dAdx=2x+1π(120+8x)(dAdx=0)2x+1π(120+8x)=0]÷π2xπ60+4x=0xπ+4x=60x(π+4)=60x=60π+4   المربع ضلع طولالدائرة قطر=2r=2[1π(302x)]=2π(30260π+4)=2π(30120π+4)الدائرة قطر=2π(30π+120120π+4)=2π(30ππ+4)=(60π+4)x=2r

(8)- جد نقطة أو نقاط تنتمي للقطع الزائد y2x2=3 بحيث تكون أقرب ما يمكن للنقطة 0,4.

  • الفرضية: نفرض أن النقطة p(x,y) هي من نقط المنحني y2x2=3 بحيث تكون أقرب ما يمكن للنقطة.
  • الدالة: قانون المسافة بين نقطتين.
  • العلاقة: معادلة القطع الزائد.

S=(x0)2+(y4)2y2x2=3S=x2+y28y+16x2=y23 ...*   المسافة قانون في نعوضS=(y23)+y28y+16S=2y28y+13dSdy=4y822y28y+13(dSdy=0)4y822y28y+13=04y8=04y=8y=2   * في نعوضx2=(2)23=43=1x2=1x=±1(1,2),(1,2)   النقاط

ملاحظات:

  1. يمكن القول عن دالة المساحة في بعض الأحيان أكبر أو أصغر مسطح للشكل.
  2. يمكن القول أن دالة الحجم أو السعة في بعض الأحيان أكبر أو أصغر مجسم للشكل.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات