حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

المعدلات المرتبطة بالزمن (المعدلات الزمنية)

إذا وجد أكثر من متغير بحيث تتوقف كل من هذه المتغيرات على متغير واحد ومثاله الزمن فتتغير كل المتغيرات تبعاً لتغيره حيث هنا يكون الاشتقاق دائماً بالنسبة للزمن y=g(t) , x=f(t)، فمنها المتغيرات y , x متغيرين تابعين كل منهما مرتبط بالمتغير المستقل (t).

ملاحظات لحل أي سؤال يتعلق بالمعادلات المرتبطة بالزمن نتبع ما يأتي:

  1. سوف تقسم العلاقات إلى نوعين (علاقات أساسية) وهي علاقات يتم اشتقاقها و(علاقات ثانوية) وهي علاقة يتم من خلالها تقليص عدد المتغيرات في السؤال.
  2. الثابت الدائم يعوض قبل الاشتقاق والمتغير الدائم يعوض بعد الاشتقاق وأحياناً نقوم بتعويضه قبل الاشتقاق وذلك لإيجاد قيمة متغير دائم آخر.
  3. كلمة معدل أو سرعة أو بعد من الأبعاد معناه الآتي: d(البعد اسم)dt ويكون موجباً في حالة التزايد وسالباً في حالة التناقص.
  4. عند الاشتقاق بالنسبة إلى الزمن يكون كالآتي: معدل تغير الحجم dvdt أو معدل تغير نصف القطر drdt إلخ.
  5. إذا طلب في السؤال معدل تغير قانون لشكل هندسي فإن ذلك القانون يكون علاقة أساسية.

(1)- مكعب من الثلج يذوب بالحرارة بحيث يحافظ على شكله مكعباً فإذا كان معدل تغير حجمه يساوي 3cm3/s جد معدل تغير مساحته السطحية في اللحظة التي يكون طول حرفه 8m

نفرض:

  • طول الضلع = L
  • نفرض حجم المكعب = v
  • نفرض المساحة السطحية = A
  1. معدل التغير بالمساحة = dAdt
  2. معدل التغير بالحجم = dvdt
  3. معدل التغير الطول = dldt

جدم المكعب = الضلع طول3

v=L3

dvdt=3L2dLdt3=3(8)2dLdt1=64dLdtdLdt=164

المساحة السطحية للمكعب = 6 × الضلع طول3 , A=6L2

معدل تغير المساحة السطحية:

dAdt=12LdLdtdAdt=12(8)(164)=32m2/s

أو تكتب كالآتي:

معدل نقصان المساحة السطحية dAdt=32m2/s

(2)- مرشح مخروطي قاعدته أفقية ورأسه للأسفل ارتفاعه يساوي 24cm وطول قطر قاعدته 16cm يصب فيه سائل بمعدل 5cm3/s بينما يترسب من السائل بمعدل 1cm3/s جد معدل تغير عمق السائل في اللحظة التي يكون فيها عمق السائل 12cm

نفرض:

  • نصف قطر القاعدة = r
  • حجم السائل = v
  • ارتفاع السائل = h
  1. معدل تغير ارتفاع السائل = dhdt
  2. معد تغير حجم السائل = dvdt

tanθ=rh=824=13 الكبير المثلثtanθ=rhrh=13r=13h.1 الصغير المثلث

نعوض معادلة (1) في معادلة (2):

v=13πr2h(2)v=13π(13h)2hv=127πh3dvdt=127π(3)h2dhdtdvdt=19πh2dhdt(3)

معدل تغير حجم السائل في المخروط = معدل الصب - معدل التسرب dvdt=51=4cm3/s

نعوض معدل تغير الحجم في معادلة (3)

4=19π(12)2dhdtdhdt=(4)(9)144π=14πcm/s

الشكل

(3)- لتكن M نقطة متحركة على منحني القطع المكافئ y2=4x بحيث يكون معدل ابتعادها عن النقطة (7,0) يساوي 0.2unit/s جد معدل التغير الزمني للإحداثي السيني للنقطة M عندما يكون x=4

نفرض:

  • لتكن النقطة M(x,y) للقطع المكافئ.
  • لتكن النقطة N(7,0)
  • S المسافة بين N,M
  1. معدل الابتعاد = dsdt
  2. معدل تغير الإحداثي السيني = dxdt

S=(x2x1)2+(y2y1)2S=(x7)2+(y0)2=x214x+49+y2 y2=4x عن نعوضS=x214x+49+4xS=x210x+49 نشتقdsdt=2x102x210x+49dxdt0.2=2(4)102(4)210(4)+49dxdt0.2=2225dxdt0.2=210dxdt0.2=0.2dxdtdxdt=1unit/s

الشكل

(4)- خزان مملوء بالماء على شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة طولها 2m يتسرب منه الماء بمعدل 0.4m3/h جد معدل انخفاض الماء في الخزان عند أي زمن t

نفرض:

  • حجم الماء في الخزان = v
  • ارتفاع الماء في الخزان = h
  • مساحة القاعدة المربعة = A
  • طول ضلع القاعدة المربعة = L
  1. معدل انخفاض الماء في الخزان = dhdt
  2. معدل تسرب الماء من الخزان = dvdt

إن الماء يأخذ شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة.

dvdt=0.4 تسرب....نقصان تعني السالبة الإشارةv=Ahv=L.Lhv=(2)(2)hv=4hنشتقdvdt=4dhdt0.4=4dhdtdhdt=0.44=0.1m/h

معدل تغير انخفاض الماء في الخزان = 0.1mh

الشكل

(5)- صفيحة مستطيلة من المعدن مساحتها 96cm2 يتمدد طولها بمعدل 2cm/s بحيث تبقى مساحتها ثابتة جد معدل النقصان في عرضها وذلك عندما يكون عرضها 8cm

نفرض:

  • طول المستطيل = x
  • عرض المستطيل = y
  1. معدل التغير بالطول = dxdt=2cm/s
  2. معدل تغير العرض = dydt

A=xy96=xy(1)96=x(8)x=968=12 المستطيل مساحة

نشتق طرفي معادلة (1) بالنسبة إلى الزمن t

0=xdydt+ydxdt12dydt+8(2)=012dydt=16dydt=1612=43cm/s

معدل التناقص في عرض المستطيل = 43cm/s

الشكل

(6)- سلم طوله 10cm يستند طرفه الأسفل على أرض أفقية وطرفه العلوي على حائط رأسي فإذا انزلق الطرف الأسفل مبتعداً عن الحائط بمعدل 2m/s عندما يكون الطرف الأسفل على بعد 8m عن الحائط جد:

معدل انزلاق الطرف العلوي:

نفرض:

  • بعد الطرف الأسفل عن الحائط = x
  • بعد الطرف الأعلى عن الأرض = y
  • قياس الزاوية بين السلم والأرض = θ
  1. معدل تغير بعد الطرف الأسفل عن الحائط = dxdt=2
  2. معدل تغير بعد الطرف العلوي عن الأرض = dydt
  3. سرعة تغير الزاوية = dθdt

x2+y2=10064+y2=100y2=36,x=8y=6x2+y2=100 الطرفين نشتق2xdxdt+2ydydt=02(8)(2)+2(6)dydt=032+12dydt=012dydt=32dydt=83m/s

معدل انزلاق الطرف العلوي = 83m/s

سرعة تغير الزاوية بين السلم والأرض:

نعوض cosθ=المجاورالوتر=x10

sinθ=y10نشتقcosθdθdt=110dydt

نعوض dydt=83 ,x=8

فتكون سرعة تغير الزاوية بين السلم والأرض 810dθdt=110(83)=13 rad/s

الشكل

(7)- نقطة تتحرك على الدائرة x2+y2+4x6y+3=0 فإذا كان معدل تغير الإحداثي السيني لها 3cm/sec عند النقطة p(1,2) جد معدل التغير في الإحداثي الصادي عند نفس النقطة.

نفرض:

  1. معدل تغير الإحداثي السيني = dxdt
  2. معدل تغير الإحداثي الصادي = dydt

النقطة p(1,2)

x2+y2+4x6y+3=02xdxdt+2ydydt+4dxdt6dydt+0=02(1)(3)+2(2)dydt+4(3)6dydt=06+4dydt+126dydt=0182dydt=018=2dydtdydt=9cm/sec

(8)- مكعب صلد طول حرفه 8cm مغطى بطبقة من الجليد بحيث شكله يبقى مكعب، فإذا بدأ الجليد بالذوبان بمعدل 6cm3/s فجد معدل النقصان بسمك الجليد في اللحظة التي يكون فيها هذا السمك = 1cm

نفرض:

  • سمك الجليد = x
  • حجم الجليد = v
  • معدل نقصان سمك الجليد = dxdt
  • سمك الجليد = x=1
  • معدل تغير حجم الجليد = dvdt=6cm3/s
  • حجم الجليد = حجم المكعب المغطى بالجليد - حجم المكعب الأصلي

v=(8+2x)3(8)3 للزمن بالنسبة نشتقdvdt=3(8+2x)2(2)dxdt06=6(8+2(1))2dxdt1=(10)2dxdtdxdt=1100cm/s

معدل النقصان في سمك الجليد = 0.01cm/s

الشكل

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات