الدرس: 6-14 العزم المدور والتعجيل الزاوي ( قانون نيوتن الثاني في الحركة الدورانية )

درسنا سابقاً أن الجسم الجاسئ يكون متزن عندما تكون محصلة العزوم الخارجية المؤثرة فيه تساوي صفر.

ماذا يحصل لجسيم يتحرك حركة دورانية حول محوره إذا أثر عليه عزم خارجي؟

يتسبب له تعجيل زاوي حول ذلك المحور مقدار هذا التعجيل يتناسب طردياً مع العزم المدور وعكسياً مع عزم القصور الذاتي للجسم حول ذلك المحور:

$\begin{array}{r}\sum \overrightarrow{\tau }\alpha \overrightarrow{\alpha }\\ \\ \sum \overrightarrow{\tau }=\mathbf{I}\overrightarrow{\alpha }\end{array}$

$\mathit{T}$: تقرأ تاو

• العزم المدور $\mathit{T}$ وحدته N.M
• العزم المدور $\mathit{T}$ والتعجيل الزاوي $\alpha$ كمیتان متجهتان لهما الاتجاه نفسه وهو ينطبق على محور الدوران (طبقاً القاعدة الكف اليمني) بينما عزم القصور الذاتي I كمية غير متجهة.

أسطوانة صلدة كتلتها 1 Kg نصف قطر قاعدتها 0.2m شرعت بالدوران من السكون حول محورها الهندسي الطويل المار من مركزي وجهيها عندما أثرت فيها قوة مماسية مقدارها 10 N.

أحسب:

1. مقدار سرعتها الزاوية بعد مرور 5S من بدء الدوران؟

$\begin{array}{r}\sum \overrightarrow{\tau }=\mathrm{I}\alpha \\ \\ \mathrm{r}\times \mathrm{F}=\frac{1}{2}{\mathrm{mr}}^2\\ \\ 0.2\times 10=\frac{1}{2}\left(1\right)(0.2{)}^2\\ \\ 4=0.04\alpha \\ \\ \alpha =\frac{4}{0.04}=100\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\\ \\ {\omega }_{\mathrm{f}}=\omega +\alpha \mathrm{\Delta t}\end{array}$

2. عدد الدورات؟

$\begin{array}{r}{\omega }_{\mathrm{f}}=0+100\times 5\Rightarrow {\omega }_{\mathrm{f}}=500\mathrm{rad}/\mathrm{s}\\ \\ \theta =\frac{{\omega }_{\mathrm{f}}+{\omega }_{\mathrm{i}}}{2}\times \mathrm{\Delta }t=\frac{500+0}{2}\times 5=1250\mathrm{rad}\\ \\ \theta =1250\mathrm{rad}\times \left(\frac{1}{2\pi }\frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{rad}}\right)=\frac{325}{\pi }\mathrm{rev}=199\mathrm{rev}\end{array}$

حلقة رقيقة جاسئة كتلتها (0.5kg) تتدحرج على سطح أفقي بسرعة خطية لمركز ثقلها (5m/s) (من غير انزلاق) وصلت إلى سطح مائل خشن قياس زاوية ميله 30 فصعدته من غير انزلاق جد:

1. مقدار الطاقة الحركية الكلية عندما تكون الحلقة على السطح الأفقي.

$\begin{array}{r}{\mathbf{KE}}_{\mathrm{T}}={\mathbf{KE}}_{\mathbf{t}}+{\mathbf{KE}}_{\mathrm{R}}\\ \\ {\mathbf{KE}}_{\mathbf{T}}=\frac{1}{2}{\mathbf{mV}}^2+\frac{1}{2}{\mathbf{IW}}^2\\ \\ =\frac{1}{2}{\mathbf{mV}}^2+\frac{1}{2}\left({\mathbf{mV}}^2\right)\frac{v^2}{r^2}\\ \\ =\frac{1}{2}{\mathbf{mV}}^2+\frac{1}{2}{\mathbf{mV}}^2\\ \\ ={\mathbf{mV}}^2=0.5\times 25=12.5J\end{array}$

2. المسافة التي تقطعها الحلقة على السطح المائل حتى تتوقف.

$\begin{array}{r}{\mathbf{KE}}_{\mathrm{T}}=\mathbf{P}\mathbf{.}\mathbf{E}\\ \\ \mathbf{mgh}=12.5\Rightarrow h=\frac{12.5}{0.5\times 10}=\frac{12.5}{5}=2.5\mathrm{m}\\ \\ \mathrm{Sin}\theta =\frac{h}{\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{Sin}30=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}\Rightarrow 0.5=\frac{2.5}{\mathrm{x}}\\ \\ \mathrm{x}=\frac{2.5}{0.5}=5m\end{array}$