تمارين (6-4)

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y=x^4-x$ ومحور السينات والمستقيمين $x=-1,x=1$.

نجعل $y=0$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x^4-x=0\Rightarrow x(x^3-1)=0\\ & x=0\in [-1,1]x=1\in [-1,1]\\ & A=\left|{\int }_{-1}^{0}f\right(x\left)dx\right|+\left|{\int }_0^{1}f\right(x\left)dx\right|\\ & A=\left|{\int }_{-1}^0(x^4-x)dx\right|+\left|{\int }_0^1(x^4-x)dx\right|\end{array} \\ \begin{array}{rl}& A=\left|{[\frac{x^5}{5}-\frac{x^2}{2}]}_{-1}^0\right|+\left|{[\frac{x^5}{5}-\frac{x^2}{2}]}_0^1\right|=\left|\right(0-0)-(\frac{1}{5}-\frac{1}{2})|+|(\frac{1}{5}-\frac{1}{2})-(0-0\left)\right|\\ & =\left|\frac{-2-5}{10}\right|+\left|\frac{2-5}{10}\right|=\frac{7}{10}+\frac{3}{10}=\frac{10}{10}=1\end{array} \end{gathered}$$

(2)- جد المساحة المحددة للدالة $f\left(x\right)=x^4-3x^2-4$ وعلى الفترة $[-2,3]$ ومحور السينات.

نجعل $f\left(x\right)=0$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$$\begin{gathered} x^4-3x^2-4=0\Rightarrow (x^2-4)(x^2+1)=0 \\ \text{either }{x}^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2\in [-2,3] \\ \text{or}{x}^2+1=0\Rightarrow x^2=-1 \left(\mathrm{تهمل}\right) \\ \begin{array}{rl}& x=2\in [-2,3]\text{or}x=-2\in [-2,3]\\ & A=\left|{\int }_{-2}^{2}f\right(x\left)dx\right|+\left|{\int }_2^{3}f\right(x\left)dx\right|A_1=\left|{\int }_{-2}^2(x^4-3x^2-4)dx\right|\\ & A_1={[\frac{1}{5}{x}^5-x^3-4x]}_{-2}^2=[\frac{32}{5}-8-8]-[\frac{-32}{5}+8+8]=\frac{64-160}{5}=\frac{-96}{5}\\ & A_2=\left|{\int }_2^3(x^4-3x^2-4)dx\right|={[\frac{1}{5}{x}^5-x^3-4x]}_2^3\\ & A_2=[\frac{243}{5}-27-12]-[\frac{32}{5}-8-8]=\frac{211-115}{5}=\frac{96}{5}\\ & A=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|=\left|\frac{-96}{5}\right|+\left|\frac{-96}{5}\right|=\frac{192}{5}{\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

(3)- جد المساحة المحددة بالدالة $f\left(x\right)=x^4-x^2$ ومحور السينات.

$$\begin{gathered} x^4-x^2=0\Rightarrow x^2\left(x^2-1\right)=0 \\ either x^2=0\Rightarrow x=0 \\ or x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1 \\ \begin{array}{rl}& A=\left|{\int }_{-1}^0(x^4-x^2)dx\right|+\left|{\int }_0^1(x^4-x^2)dx\right|\\ & A_1={[\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}]}_{-1}^0+{[\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}]}_0^1=\left[0\right]-[\frac{-1}{5}+\frac{1}{3}]+[\frac{1}{5}-\frac{1}{3}]-\left[0\right]\\ & =\left|\frac{-2}{15}\right|+\left|\frac{-2}{15}\right|=\frac{2}{15}+\frac{2}{15}=\frac{4}{15}{\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

(4)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y=\sin 3x$x ومحور السينات وعلى الفترة $[0,\frac{\pi }{2}]$.

الفترة موجبة فقط فلا نعوض بالقيم السالبة حيث $n=0,1,2$

$$\begin{gathered} \sin 3x=03x=0+n\pi \\ \begin{array}{ll}n=0& x=0\in [0,\frac{\pi }{2}] \left(\mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\\ n=1& x=\frac{\pi }{3}\in [0,\frac{\pi }{2}] \left(\mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\\ n=2& x=\frac{2\pi }{3}\notin [0,\frac{\pi }{2}] \left(\mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rl}& A=\left|{\left[\frac{-\cos 3x}{3}\right]}_0^{\frac{\pi }{3}}\right|+\mid [{\frac{-\cos 3x}{3}|}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\mid \\ & A=|\frac{(-\cos 3\left(\frac{\pi }{3}\right))}{3}-\frac{(-\cos 3(0\left)\right)}{3}|+|\frac{(-\cos 3\left(\frac{\pi }{2}\right))}{3}-\frac{(-\cos 3\left(\frac{\pi }{3}\right))}{3}|\\ & A=|\frac{(-\cos \pi )}{3}-\frac{(-\cos (0\left)\right)}{3}|+|\frac{(-\cos \frac{3\pi }{2})}{3}-\frac{(-\cos \pi )}{3}|\\ & A=\mid [\frac{-(-1)}{3}|-\left[\frac{-1}{3}\right]|+\left|\right[0]-\left[\frac{-(-1)}{3}\right]=|\frac{1}{3}+\frac{1}{3}|+|\frac{-1}{3}\mid =\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\end{array}$

(5)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y=2{\cos }^{2}x-1$ ومحور السينات وعلى الفترة $[0,\frac{\pi }{2}]$.

نجعل $f\left(x\right)=0$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$$\begin{gathered} 2{\cos }^{2}x-1=0\Rightarrow \cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+n\pi n=0,1 \\ \begin{array}{rl}& n=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}\in [0,\frac{\pi }{2}] \left(\mathrm{يجزئ}\right)\\ & n=1\Rightarrow 2x=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{3\pi }{4}\notin [0,\frac{\pi }{2}] \left(\mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\\ & A=|{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2xdx|+|{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\cos 2xdx|=\left|{\left[\frac{\sin 2x}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}\right|+\mid [{\frac{\sin 2x}{2}|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\mid \end{array} \\ \begin{array}{rl}A& =|\frac{\sin 2\left(\frac{\pi }{4}\right)}{2}-\frac{\sin 2\left(0\right)}{2}|+|\frac{\sin 2\left(\frac{\pi }{2}\right)}{2}-\frac{\sin 2\left(\frac{\pi }{4}\right)}{2}|\\ A& =\frac{1}{2}|\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0|+\frac{1}{2}|\sin \pi -\sin \frac{\pi }{2}|\\ A& =\frac{1}{2}|1-0|+\frac{1}{2}|0-1|=\frac{1}{2}\left|1\right|+\frac{1}{2}|-1|=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1{\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة: إذا كانت صيغة الأسئلة كما يأتي:

$\begin{array}{ll}\{y=1-2{\sin }^{2}x ,& y={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x , y={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\}=\cos 2x\\ \{y=2{\sin }^{2}x-1 ,& y=1-2{\cos }^{2}x , y={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\}=-\cos 2x\end{array}$

(6)- جد المساحة المحددة بالدالتين $y=\sqrt{x-1} , y=\frac{1}{2}x$ وعلى الفترة $[2,5]$.

نجعل $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}x=\sqrt{x-1} \left(\mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\right) \\ \frac{1}{4}{x}^2=x-1\stackrel{\times 4}{\Rightarrow }{x}^2=4x-4\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow (x-2{)}^2=0\stackrel{\text{بالجذر}}{\Rightarrow }x-2=0 \\ x=2\in [2,5] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{نجزئ} \mathrm{لا}\right) \\ A={\int }_2^5 \left(\frac{1}{2}x-\sqrt{x-1}\right)dx \\ \begin{array}{rl}A& =\left|{\int }_2^5[\frac{1}{2}x-(x-1{)}^{\frac{1}{2}}]dx\right|=\left|{[\frac{1}{4}{x}^2-\frac{2}{3}(x-1{)}^{\frac{3}{2}}]}_2^5\right|\\ A& =|(\frac{25}{4}-\frac{2}{3}\sqrt{4^3})-(1-\frac{2}{3}\sqrt{1^3})|=|(\frac{25}{4}-\frac{16}{3})-(1-\frac{2}{3})|=|\frac{25}{4}-\frac{16}{3}-1+\frac{2}{3}|\\ A& =\left|\frac{75-64-12+8}{12}\right|=\frac{7}{12}{\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

(7)- جد المساحة المحددة بالدالتين $y=x^2 , y=x^4-12$.

نجعل $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$$\begin{gathered} x^4-12=x^2\Rightarrow x^4-x^2-12=0\Rightarrow (x^2-4)(x^2+3)=0 \\ \text{either }x=\pm 2\text{or }x=\pm \sqrt{-3} \left(\mathrm{تهمل}\right) \\ \begin{array}{rl}& A={\int }_{-2}^2(x^4-x^2-12)dx=\left|{[\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}-12x]}_{-2}^2\right|\\ & A=|(\frac{32}{5}-\frac{8}{3}-24)-(\frac{-32}{5}+\frac{8}{3}+24)|\\ & A=|\frac{64}{5}-\frac{16}{3}-48|=\left|\left(\frac{192-80-720}{15}\right)\right|=\left|\left(\frac{-608}{15}\right)\right|=\frac{608}{15}{\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

(8)- جد المساحة المحددة بالدالتين $g\left(x\right)=\sin x\cos xf\left(x\right)=\sin x$ حيث $x\in [0,2\pi ]$.

نجعل $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=\sin x\cos x-\sin x\Rightarrow \sin x(\cos x-1)=0 \\ \text{either }\sin x=0\Rightarrow x=0\in [0,2\pi ]x=\pi \in [0,2\pi ]x=2\pi \in [0,2\pi ] \\ \text{or }\cos x-1=0\Rightarrow \cos x=1\Rightarrow x=0\in [0,2\pi ]x=2\pi \in [0,2\pi ] \\ \begin{array}{rl}& A=\left|{\int }_0^{\pi }\right(\sin x\cos x-\sin x\left)dx\right|+\left|{\int }_{\pi }^{2\pi }\right(\sin x\cos x-\sin x\left)dx\right|\\ & A=\left|{[\frac{{\sin }^{2}x}{2}+\cos x]}_0^{\pi }\right|+\left|{[\frac{{\sin }^{2}x}{2}+\cos x]}_{\pi }^{2\pi }\right|\\ & A=|[\frac{{\sin }^2\left(\pi \right)}{2}+\cos (\pi \left)\right]-[\frac{{\sin }^2\left(0\right)}{2}+\cos (0\left)\right]|+|[\frac{{\sin }^2\left(2\pi \right)}{2}+\cos (2\pi \left)\right]-[\frac{{\sin }^2\left(\pi \right)}{2}+\cos (\pi \left)\right]|\end{array} \\ \begin{array}{rl}& A=\left|\right[(0-1)-(0+1)\left]\right|+\left|\right[(0+1)-(0-1)\left]\right|=|-1-1|+|1+1|=|-2|+\left|2\right|\\ & A=4{\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

(9)- جد المساحة المحددة بالدالتين $g\left(x\right)=\sin x , f\left(x\right)=2\sin x+1$ حيث $x\in [0,\frac{3\pi }{2}]$.

نجعل $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$\begin{array}{rl}& 2\sin x+1-\sin x=0\Rightarrow \sin x+1=0\Rightarrow \sin x=-1\Rightarrow x=\frac{3\pi }{2}\in [0,\frac{3\pi }{2}]\\ & A=\left|{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\right(\sin x+1\left)dx\right|=\left|\right[-\cos x+x{]}_0^{\frac{3\pi }{2}}|\\ & A=|(-\cos \frac{3\pi }{2}+\frac{3\pi }{2})-(-\cos \left(0\right)+0\left)\right|=|(0+\frac{3\pi }{2})-(-1\left)\right|=|\frac{3\pi }{2}+1|=\frac{3\pi }{2}+1{\text{unit}}^2\end{array}$

(10)- جد المساحة المحددة بالدالة $y=x^3+4x^2+3x$ ومحور السينات.

نجعل $y=0$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$\begin{array}{rl}& x^3+4x^2+3x=0\Rightarrow x(x^2+4x+3)=0\\ & x(x+1)(x+3)=0\Rightarrow x=0,x=-1,x=-3\\ & A=\left|{\int }_{-3}^{-1}(x^3+4x^2+3x)dx\right|+\left|{\int }_{-1}^0(x^3+4x^2+3x)dx\right|\\ & A=\left|{[\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}]}_{-3}^{-1}\right|+\left|{[\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}]}_{-1}^0\right|\\ & A=|[\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}]-[\frac{81}{4}-36+\frac{27}{2}]|+\left|\right(0)-[\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}]|\\ & A=\mid [\frac{3-16+18-243+432-162}{12}\mid +\left[\frac{-3+16-18}{12}\right||\\ & A=\left|\frac{32}{12}\right|+\left|\frac{-5}{12}\right|=\frac{32+5}{12}=\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}{\text{unit}}^2\end{array}$

(11)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة $V\left(t\right)=(3t^2-6t+3)m/s$ احسب:

المسافة المقطوعة في الفترة $[2,4]$.

$$\begin{gathered} 3t^2-6t+3=0]÷3 \\ {t}^2-2t+1=0\Rightarrow (t-1)(t-1)=0\Rightarrow (t-1{)}^2=0\Rightarrow t-1=0\Rightarrow t=1\notin [2,4] \\ \begin{array}{rl}d& =\left|{\int }_2^4(3t^2-6t+3)dt\right|=\left|{[t^3-3t^2+3t]}_2^4\right|\\ & =\left|\right(64-48+12)-(8-12+6\left)\right|=|28-2|=26\mathrm{m}\end{array} \end{gathered}$$

الإزاحة في الفترة $[0,5]$.

$s=\left|{\int }_0^3(3t^2-6t+3)dt\right|=\left|{[t^3-3t^2+3t]}_0^5\right|=(125-75+15)-\left(0\right)=65m$

(12)- جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره $(4t+12)m/s^2$ وكانت سرعته بعد مرور $\left(4\right)$ ثواني تساوي $90\mathrm{m}/\mathrm{s}$ احسب:

السرعة عندما $t=2$.

$\begin{array}{rl}& V\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int (4t+12)dt=2t^2+12t+c\\ & 90=2\left(16\right)+12\left(4\right)+c\Rightarrow 90=32+48+c\Rightarrow c=90-80\Rightarrow c=10\\ & V\left(t\right)=2t^2+12t+10\Rightarrow V\left(2\right)=2\left(4\right)+12\left(2\right)+10=8+24+10=42\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

المسافة خلال الفترة $[1,2]$.

$\begin{array}{rl}& d={\int }_1^2(2t^2+12t+10)dt=\left|{[\frac{2t^3}{3}+6t^2+10t]}_1^2\right|=|(\frac{16}{3}+24+20)-(\frac{2}{3}+6+10)|\\ & d=|\frac{16}{3}+44-\frac{2}{3}-16|=|\frac{14}{3}+28|=\frac{14+84}{3}=\frac{98}{3}m\end{array}$

الإزاحة بعد $10$ ثواني من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}& s={\int }_0^{10}(2t^2+12t+10)dt=\left|{[\frac{2t^3}{3}+6t^2+10t]}_0^{10}\right|=|(\frac{2000}{3}+600+100)-(0\left)\right|\\ & s=\frac{2000+1800+300}{3}=\frac{4100}{3}m\end{array}$

(13)- تتحرك نقطة من السكون وبعد $t$ ثانية من بدء الحركة أصبحت سرعتها $(100t-6t^2)m/s$ أوجد الزمن اللازم لعودة النقطة إلى موضعها الأول الذي بدأت منه ثم احسب التعجيل عندها.

$\begin{array}{rl}& V\left(t\right)=100t-6t^2 \left(\mathrm{الطرفين} \mathrm{نكامل}\right)\\ & s=\int (100t-6t^2)dt\Rightarrow s=50t^2-2t^3+c\end{array}$

النقطة تتحرك من السكون $s=0 , t=0$

$\begin{array}{rl}& 0=50\left(0\right)-2\left(0\right)+c\Rightarrow c=0\\ & \therefore s=50t^2-2t^3\end{array}$

عند عودة النقطة إلى موضعها الأول يعني أن الإزاحة $\left(s\right)$ تساوي صفر لذا يكون:

$$\begin{gathered} 50t^2-2t^3=0\Rightarrow t^2(50-2t)=0 \\ \text{either }{t}^2=0\Rightarrow t=0 \left(\mathrm{يهمل}\right) \\ \text{or }50-2t=0\Rightarrow 2t=50\Rightarrow t=25\sec \left(\mathrm{الأول} \mathrm{موضعها} \mathrm{إلى} \mathrm{النقطة} \mathrm{لعودة} \mathrm{اللازم} \mathrm{الزمن}\right) \\ \begin{array}{rl}& a\left(t\right)=V\text{'}\left(t\right) \left(\mathrm{التعجيل}\right)\\ & a\left(t\right)=100-12t\\ & a\left(25\right)=100-12\left(25\right)=100-300=-200\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array} \end{gathered}$$