الدالة الأسية (الأساس عدد ثابت)

نفرض أن $a$ عدد ثابت يمثل أساس الدالة الأسية فإن مشتقة أي دالة أسية مرفوعة لقوة $u$ هي:

$\frac{d}{dx}{a}^u=\left(\mathrm{الدالة}\text{)}\right(\ln \text{الأساس})\left(\mathrm{الأس} \mathrm{مشتقة}\right)=a^u\cdot \ln a\frac{du}{dx}$ وعليه فإن $\int \left(a^u\right)du=\frac{1}{\ln a}{e}^u+c$

وتتميز ببعض الخصائص التي ذكرناها في الدالة الأسية السابقة وسوف نوضح ذلك في المثال التالي:

(1)- جد $\frac{dy}{dx}$ لكل مما يأتي:

$y=4^{x^2-3}$

$y=4^{x^2-3}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4^{x^2-3}\ln \left(4\right)\left(2x\right)=\ln 4\left(4^{x^2-3}\right)2x$

$y=5^{\sin x}$

$y=5^{\sin x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=5^{\sin x}\ln 5(\cos x)=(\ln 5)5^{\sin x}\cdot \cos x$

$y=(12{)}^{x^{\frac{1}{3}}}$

$y=(12{)}^{x^{\frac{1}{3}}}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(12{)}^{x^{\frac{1}{3}}}\cdot \ln \left(12\right)\cdot \frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}=(\ln 12)(12{)}^{x^{\frac{1}{3}}}\cdot \frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}$

$y=7^{\frac{-x}{3}}$

$y=7^{\frac{-x}{3}}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(7{)}^{\frac{-x}{3}}\cdot \ln (7)(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{3}\ln (7)\cdot (7{)}^{\frac{-x}{3}}$

(2)- جد $\frac{dy}{dx}$ لكل مما يأتي:

$y=e^{x^2+x}$

$y=e^{x^2+x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=e^{x^2+x}(2x+1)$

$y=e^{\sin x}$

$y=e^{\sin x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=e^{\sin x}\cos x$

$y=e^{-x}$

$y=e^{-x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=e^{-x}(-1)=-e^{-x}$

$y=\ln x\cdot e^x$

$y=\ln x\cdot e^x\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\ln x\cdot e^x+e^x\cdot \frac{1}{x}$

$y=\sin \left(x{e}^x\right)$

$y=\sin \left(x{e}^x\right)\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\cos \left(x{e}^x\right)[x{e}^x+e^x]=[x{e}^x+e^x]\cos \left(x{e}^x\right)$

$y=3^{(2+4^x)}$

$y=3^{(2+4^x)}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3^{(2+4^x)}(\ln 3)\left[4^x\right(\ln 4\left)\right(1\left)\right]$

$y=\cot e^{2x}$

$y=\cot e^{2x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-{\csc }^2{e}^{2x}\left(2e^{2x}\right)$

$y=5^{\sin x}$

$y=5^{\sin x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=5^{\sin x}\ln \left(5\right)\cos x=(\ln 5)5^{\sin x}\cos x$

(3)- جد تكامل لكل مما يأتي:

$\int e^{x^2+x}\underset{\text{الأس مشتقة}}{\underbrace{(2x+1)}}dx$

$\int e^{x^2+x}\underset{\text{الأس مشتقة}}{\underbrace{(2x+1)}}dx=e^{x^2+x}+c$

$\int e^{sinx}\underset{\mathrm{الأس} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{\left(cosx\right)}}dx$

$\int e^{\sin x}\underset{\mathrm{الأس} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{\left(\cos x\right)}}dx=e^{\sin x}+c$

$\int x^2{e}^{x^3}dx$

$\int x^2{e}^{x^3}dx=\int e^{x^3}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\int e^{x^3}\underset{\text{الأس مشتقة}}{\underbrace{\left(3x^2\right)}}dx=\frac{1}{3}{e}^{x^3}+c$

$\int {(1+e^x)}^{2}dx$

$\begin{array}{rl}\int {(1+e^x)}^{2}dx& =\int (1+2e^x+e^{2x})dx\\ & =\int [1+2e^x+\frac{1}{2}{e}^{2x}(2\left)\right]dx=x+2e^x+\frac{1}{2}{e}^{2x}+c\end{array}$

$\int e^{tanx}\cdot se{c}^{2}xdx$

$\int e^{\tan x}\cdot {\sec }^{2}xdx=e^{\tan x}+c$

$\int \frac{e^{lnx}}{x}dx$

$\int \frac{e^{\ln x}}{x}dx=e^{\ln x}+c=x+c$

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx=2\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}=2e^{\sqrt{x}}+c$

$\int 4^{x}dx$

$\int 4^{x}dx=4^x\left(\frac{1}{\ln 4}\right)+c$

$\int 3^{\tan 7x}({\sec }^{2}7x)dx$

$\int 3^{\tan 7x}({\sec }^{2}7x)dx=\frac{1}{7}\int 3^{\tan 7x}({\sec }^{2}7x)\left(7\right)dx=\frac{1}{7}{3}^{\tan 7x}\left(\frac{1}{\ln 3}\right)+c$