إيجاد مساحة المنطقة المستوية

مساحة المنطقة المستوية المحددة بمنحني ومحور السينات:

نساوي الدالة المعطاة بالصفر ثم نحل المعادلة لإيجاد قيم $x$ ومن ثم يتحول السؤال إلى أحد الاحتمالات الخمسة التالية:

1. إذا أعطيت الفترة $\left[a,b\right]$ في الدالة فنقوم بتصفير الدالة واستخراج قيم $x$ فإذا كانت تنتمي إلى الفترة المعطاة فنقوم بتجزئة التكامل إلى جزئين أو أكثر، أما إذا كانت لا تنتمي لها فلا نجزئ التكامل ولكن في كلتا الحالتين نقوم بأخذ القيم الناتجة المطلقة للتكاملات.
2. تعطى القيم على شكل $\left[a,b\right]$ مثلاً أو على شكل بعبارة المستقيمين $x=a,x=b$ ويكون لها نفس التفسير السابق.
3. إذا لم تعطى فترة أو مستقيمين في السؤال فإن قيم $x$ الناتجة ترتب تصاعدياً واعتبارها قيم التكامل دون اهمال أي قيمة وهي على الأقل قيمتين.
4. إذا كان المطلوب إيجاد المساحة بين منحني ومحور السينات ومستقيم $x=a$ فقط نقوم بإضافة هذه القيمة إلى القيم الناتجة من مساواة الدالة بالصفر ثم ترتب تصاعدياً واعتبارها فترة دون إهمال أي قيمة.
5. هناك بعض الدوال لا يمكن تحليلها لإيجاد قيمة $x$ عن التصفير فإن المساحة تكون تكاملاً واحداً وعلى الفترة المعطاة.

(1)- جد مساحة المنطقة المحددة بمنحني الدالة $f\left(x\right)=x^3-4x$ ومحور السينات وعلى الفترة $[-2,2]$.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3-4x\Rightarrow x^3-4x=0\\ & x(x^2-4)=0\\ & \text{either }x=0\\ & \text{or}{x}^2-4=0\Rightarrow x=\mp 2\left(x=0,x=2,x=-2\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& A_1={\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx={[\frac{x^4}{4}-\frac{4x^2}{2}]}_{-2}^0=\left[0\right]-[4-8]=4\\ & A_2={\int }_0^2(x^3-4x)dx={[\frac{x^4}{4}-\frac{4x^2}{2}]}_0^2=[4-8]-\left[0\right]=-4\\ & A=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|=\left|4\right|+|-4|=4+4=8{\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

(2)- جد المساحة المحصورة بين منحني الدالة $y=x^2$ ومحور السينات والمستقيمان $x=3,x=1$.

حيث لا تجزأ الفترة فنعتمد على الفترة المعطاة $\left[1,3\right]$

$\begin{array}{rl}& x^2=0\Rightarrow x=0\notin [1,3]\\ & A={\int }_1^3{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_1^3=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}=8\frac{2}{3}{\text{unit}}^2\end{array}$

(3)- جد المساحة المحددة $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x$ ومحور السينات.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x^3-3x^2+2x=0\\ & x(x^2-3x+2)=0\Rightarrow x(x-2)(x-1)=0\\ & \text{either }x=0\\ & \text{or}(x-2)(x-1)=0\\ & \left(x=0,x=1,x=2\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& A_1={\int }_0^1(x^3-3x^2+2x)dx={[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2]}_0^1\Rightarrow A_1=(\frac{1}{4}-1+1)-\left(0\right)=\frac{1}{4}\\ & A_2={\int }_1^2(x^3-3x^2+2x)dx={[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2]}_1^2\Rightarrow A_2=(4-8+4)-(\frac{1}{4}-1+1)=-\frac{1}{4}\\ & A=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|=\left|\frac{1}{4}\right|+|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{2} uni{t}^2\end{array} \end{gathered}$$

(4)- جد مساحة المنطقة المحددة بمنحني الدالة $f\left(x\right)=x^2-1$ ومحور السينات وعلى الفترة $[-2,3]$.

$\begin{array}{rl}& x^2-1=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\mp 1\in [-2,3]\\ & [-2,-1],[-1,1],[1,3]\\ & A_1={\int }_{-2}^{-1}(x^2-1)dx={[\frac{x^3}{3}-x]}_{-2}^{-1}=(\frac{-1}{3}+1)-(\frac{-8}{3}+2)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\\ & A_2={\int }_{-1}^1(x^2-1)dx={[\frac{x^3}{3}-x]}_{-1}^1=(\frac{1}{3}-1)-(\frac{-1}{3}+1)=-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}\\ & A_3={\int }_1^3(x^2-1)dx={[\frac{x^3}{3}-x]}_1^3=(9-3)-(\frac{1}{3}-1)=\frac{18}{3}+\frac{2}{3}=\frac{20}{3}\\ & A=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|+\left|A_3\right|=\left|\frac{4}{3}\right|+|-\frac{4}{3}|+\left|\frac{20}{3}\right|=9\frac{1}{3} {\text{unit}}^2\end{array}$

(5)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y=3x^2+4$ ومحور السينات وعلى الفترة $[-1,1]$.

نجعل $y=0$

$\begin{array}{rl}& 3x^2+4=0\Rightarrow 3x^2=-4\Rightarrow x^2=\frac{-4}{3} \left(\mathrm{يمكن} \mathrm{لا}\right)\\ & A={\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx={\int }_{-1}^1(3x^2+4)dx\\ & A={[x^3+4x]}_{-1}^1=(1+4)-(-1-4)=(5+5)=\left|10\right|=10{\text{unit}}^2\end{array}$

(6)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y=\sin x$ ومحور السينات وعلى الفترة $[-\frac{\pi }{2},\pi ]$.

نجعل $y=0$

$\sin x=0\Rightarrow x=0+n\pi \left(n=0,1,2,-1,-2\right)$

نأخذ قيم موجبة وسالبة لأن الفترة المعطاة موجبة وسالبة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& n=0,x=0\in [-\frac{\pi }{2},\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ}\right)\\ & n=1,x=\pi \in [-\frac{\pi }{2},\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\\ & n=2,x=2\pi \notin [-\frac{\pi }{2},\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right) \\ & n=-1,x=-\pi \notin [-\frac{\pi }{2},\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\\ & n=-2,x=-2\pi \notin [-\frac{\pi }{2},\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& A={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{0}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{\pi }f\left(x\right)dx\\ & A={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\sin xdx+{\int }_0^{\pi }\sin xdx\\ & A=[-\cos x{]}_{-\frac{\pi }{2}}^0+[-\cos x{]}_0^{\pi }=(-\cos 0+\cos \frac{-\pi }{2})+(-\cos \pi +\cos 0)\\ & A=(-1+0)+(1+1)=|-1|+\left|2\right|=\left|3\right|=3{\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة: رسم منحني الـ $\sin$ فعلى اساسه نجد القيمة المنتمية الى الفترة المعطاة $[-\frac{\pi }{2},\pi ]$.

(7)- جد مساحة المنطقة المحددة بمنحني الدالة $y=\cos x$ وعلى الفترة $[-\pi ,\pi ]$.

ملاحظة: رسم منحني الـ $cos$ فعلى أساسه نجد القيمة المنتمية الى الفترة المعطاة $[-\mathit{\pi },\mathit{\pi }]$.

$$\begin{gathered} \cos x=0 , x=\frac{\pi }{2}+n\pi n\in Z \\ \begin{array}{rl}& n=0,x=\frac{\pi }{2}\in [-\pi ,\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ}\right)\\ & n=1,x=\frac{3\pi }{2}\notin [-\pi ,\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\\ & n=-1,x=\frac{-\pi }{2}\in [-\pi ,\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& n=-2,x=\frac{-3\pi }{2}\notin [-\pi ,\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\\ & n=2,x=\frac{5\pi }{2}\notin [-\pi ,\pi ] \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& [-\pi ,\pi ]\Rightarrow [-\pi ,-\frac{\pi }{2}],[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],[\frac{\pi }{2},\pi ]\\ & A_1={\int }_{-\pi }^{-\frac{\pi }{2}}\cos xdx=[\sin x{]}_{-\pi }^{-\frac{\pi }{2}}=\sin (-\frac{\pi }{2})-\sin (-\pi )=-1+0=-1\\ & {A_2={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=\sin x]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)-\sin (-\frac{\pi }{2})=1+1=2\\ & {A_3={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\cos xdx=\sin x]}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }=\sin \left(\pi \right)-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=0-1=-1\\ & A=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|+\left|A_3\right|=|-1|+\left|2\right|+|-1|=1+2+1=4{\text{unit}}^2\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظات:

• إذا كانت $\sin ax,\cos ax=\pm \{\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\}$ فإننا نستخرج زاوية الإسناد ثم نستخرج قيمة $x$ حسب موقع الزاوية في الأرباع.
• إذا كانت $\tan ax,\cot ax=\pm \{\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{3},1\}$ فإننا نستخرج زاوية الإسناد ثم نستخرج قيمة $x$ حسب موقع الزاوية في الأرباع.
• إذا كانت $\sin ax,\cos ax=\pm \{1,-1\}$ نستخرج قيمة $x$ من خلال دائرة الوحدة.

$\begin{array}{lr}\sin x=0\Rightarrow x=0+n\pi & \left(n=0,1,2,-1,-2\right) \left(\mathrm{الحاجة} \mathrm{حسب}\right)\\ \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+n\pi & \left(n=0,1,2,-1,-2\right) \left(\mathrm{الحاجة} \mathrm{حسب}\right)\end{array}$