التكامل غير المحدد

إذا كانت للدالة $f$ المستمرة على $\left[a,b\right]$ دالة مقابلة $F$ فإنه يوجد عدد لا نهائي من الدوال المقابلة للدالة $f$ كل منها يساوي $F+C$ حيث $C$ يمثل عدد ثابت والفرق بين أكثر من اثنين منها يساوي عدد ثابت.

• تسمى مجموعة الدوال المقابلة $F+C$ بالتكامل غير المحدد للدالة $f$ المستمرة على الفترة $\left[a,b\right]$ ويرمز لها بالرمز $\int f\left(x\right)dx$ اذا كان رمز المتغير $x$.
• يصطلح على كتابة التكامل غير المحدد على صورة $\mathit{\int }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}dx\mathit{=}F\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{+}C\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }C\mathit{\in }R$
• عملية التكامل غير المحدد هو العملية المعاكسة لعملية التفاضل أي أحداهما تنهي دور الأخرى.

(1)- أوجد تكامل الدوال الآتية:

$\int (3x^2+2x+1)dx$

$\int (3x^2+2x+1)dx=\frac{3x^3}{3}+\frac{2x^2}{2}+x+c=x^3+x^2+x+c$

$\int (\cos x+x^{-2})dx$

$\int (\cos x+x^{-2})dx=\sin x+\frac{x^{-1}}{-1}+c=\sin x-x^{-1}+c==\sin x-\frac{1}{x}+c$

$\int (\csc 3x\cot 3x)dx$

$\int (\csc 3x\cot 3x)dx=\frac{1}{3}\int \underset{\mathrm{الزاوية} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{\left(3\right)}}(\csc 3x\cot 3x)dx=\frac{-\csc 3x}{3}+c$

$\int (\sin ax+{\sec }^{2}3x)dx$

$\begin{array}{rl}\int (\sin ax+{\sec }^{2}3x)dx& =\int \frac{1}{a}\sin ax\underset{\mathrm{الزاوية} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{\left(a\right)}}dx+\int \frac{1}{3}{\sec }^{2}3x\cdot \underset{\text{الزاوية مشتقة}}{\underbrace{\left(a\right)}}dx\\ & =\frac{-\cos ax}{a}+\frac{\tan 3x}{3}+c\end{array}$

$\int (x+\sec x\tan x)dx$

$\int (x+\sec x\tan x)dx=\frac{x^2}{2}+\sec x+c$

$\int \sin (2x+4)dx$

$\int \sin (2x+4)dx=\frac{1}{2}\int \sin (2x+4)\underset{\mathrm{الزاوية} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{\left(2\right)}}dx=\frac{-1}{2}\cos (2x+4)+c$

نلاحظ أن كل قوس مرفوع إلى أس يجب اتباع ما يأتي:

1. نرتب حدود القوس.
2. يجب أن تكون مشتقة داخل القوس موجودة.
3. عند التكامل نقوم بحذف المشتقة.

(2)- جد التكامل $\int {(x^2+3)}^2\left(2x\right)dx$

$\int \left[f\right(x){]}^{2}f\text{'}(x)dx \left(\mathrm{أن} \mathrm{أي}\right) f\text{'}(x)=2x , f(x)=x^2+3$

$\int {(x^2+3)}^2\left(2x\right)dx=\frac{{[x^2+3]}^3}{3}+c$

المشتقة متوفرة إذن تكامل بصورة مباشرة.

ملاحظة:

$\int \sin xdx=-\cos x+c , \int \cos xdx=\sin x+c$

(3)- جد التكامل $\int {(3x^2+8x+5)}^6(3x+4)dx$

$$\begin{gathered} =\int {(3x^2+8x+5)}^6\underset{2\times \mathrm{نضرب}}{\underbrace{(3x+4)}}dx=\frac{1}{\underset{2 \mathrm{على} \mathrm{قسمة}}{\underbrace{2}}}\int {(3x^2+8x+5)}^6\underset{\mathrm{المشتقة}}{\underbrace{\left(6x+8\right)}}dx \\ =\frac{1}{2}\frac{{(3x^2+8x+5)}^7}{7}+c=\frac{1}{14}{(3x^2+8x+5)}^7+c \end{gathered}$$

(4)- جد التكامل لكل مما يأتي:

$\int {\sin }^{4}x\cos xdx$

$\int {\sin }^{4}x\cos xdx=\frac{{\sin }^{5}x}{5}+c\sin x\stackrel{\mathrm{مشتقها}}{⟹}\cos x$

$\int {\tan }^{6}x{\sec }^{2}xdx$

$\int {\tan }^{6}x{\sec }^{2}xdx=\frac{{\tan }^{7}x}{7}+c\tan x\stackrel{\text{مشتقها}}{⟹}{\sec }^{2}x$

(5)- جد التكامل $\int x\sqrt{x^2+2}dx$

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{x^{\frac{2}{3}}{(1+x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}=\int {(1+x^{\frac{1}{3}})}^{-\frac{1}{2}}{x}^{\frac{-2}{3}}]\cdot \underset{3\text{على ونقسم نضرب}}{\underbrace{\frac{3}{3}}}=3\int \underset{\mathrm{القوس} \mathrm{داخل} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}}}{(1+x^{\frac{1}{3}})}^{-\frac{1}{2}} \\ =3\frac{{(1+x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c=6\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}+c \end{gathered}$$

في الدوال المثلثية علينا مراعاة ما يأتي:

1. نرتب بحيث نضع الدالة المثلثية ثم المشتقة.
2. يجب أن تكون المشتقة للدالة المثلثية موجودة.

(6)- جد التكامل لكل مما يأتي:

$\int x^{2}sin{x}^{3}dx$

$\int x^2\sin x^{3}dx=\int \sin x^3{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\int \sin x^3\underset{\mathrm{الزاوية} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{3x^2}}dx=-\frac{1}{3}\cos x^3+c$

$\int sinxco{s}^{5}xdx$

$\begin{array}{rl}\int \sin x{\cos }^{5}xdx& =\int {\cos }^{5}x\sin xdx=\int [\cos x{]}^5\sin xdx]\cdot \frac{-1}{-1}\\ & =-\int [\cos x{]}^5(-\sin x)dx=-\frac{[\cos x{]}^6}{6}+c\end{array}$

$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x\sqrt{1+\tan x}}$

$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x\sqrt{1+\tan x}}& =\int (1+\tan x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx\\ & =\int (1+\tan x{)}^{-\frac{1}{2}}\underset{\mathrm{الدالة} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{{\sec }^{2}x}}dx=\frac{(1+\tan x{)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c=2\sqrt{1+\tan x}+c\end{array}$

$\int \tan x{\sec }^{4}xdx$

$\int \tan x{\sec }^{4}xdx=\int {\sec }^{4}x\tan xdx=\int {\sec }^{3}x\underset{\mathrm{الدالة} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{\mathrm{sen}x\tan x}}dx=\frac{(\sec x{)}^4}{4}+c$

$\int {\tan }^{6}x{\sec }^{2}xdx$

$\int {\tan }^{6}x{\sec }^{2}xdx=\int {\tan }^{6}x\underset{\text{الدالة مشتقة}}{\underbrace{{\sec }^{2}x}}dx=\frac{1}{7}{\tan }^{7}x+c$

$\int x\sqrt{x+3}dx$

$\begin{array}{rl}\int x\sqrt{x+3}dx& =\int x+3-3\left(\sqrt{x+3}\right)dx=\int \left(\right(x+3)-3)(x+3{)}^{\frac{1}{2}}dx\\ & =\int (x+3{)}^{\frac{3}{2}}dx-3\int (x+3{)}^{\frac{1}{2}}dx=\frac{(x+3{)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-3\frac{(x+3{)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c\end{array}$