حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

تمارين (4-1)

تمارين (4-1)

(1)- احسب ما يلي:

[cos524π+isin524π]4

[cos524π+isin524π]4=[cos4524π+isin4524π]=[cos5π6+isin5π6]

تقع في الربع الثاني π6=30 , 5×30=150

=cosπ6+isinπ6=[32+12i]

[cos3712π+isin712π]3

[cos(3712π)+isin(3712π)]=[cos7π4+isin7π4]=[cos7π4isin7π4]

تقع في الربع الرابع 7×45=315 , π4=45

=cosπ4+isinπ4=[12+i(12)]=12+12i

(2)- احسب باستخدام مبرهنة ديموافر (أو التعميم) ما يأتي:

(1i)7

z=1ir=x2+y2=1+1=2cosθ=xr=12 , sinθ=yr=12

زاوية الإسناد π4 تقع في الربع الرابع θ=2ππ4=8ππ4=7π4

الصيغة القطبية:

Z=2(cos7π4+isin7π4)

نبدأ بتطبيق مبرهنة ديموافر:

Z7=(2)7(cosθ+isinθ)7=(2)7(cos7π4+isin7π4)7Z7=(2)7(cos77π4+isin77π4)=(2)62(cos49π4+isin49π4)

494=12 زوجي دائماً والباقي 1 لذلك تكون الزاوية الجديدة باقي π4 وهي π4 تقع في الربع الرابع.

=(23)2(cosπ4+isinπ4)=82(12+i12)=822+i822=8+8i

(3+i)9

Z=3+ir=x2+y2=3+1=4=2cosθ=xr=32 , sinθ=yr=12

زاوية الإسناد θ=π6 تقع في الربع الأول.

الصيغة القطبية:

Z=2(cosπ6+isinπ6)

نبدأ بتطبيق مبرهنة ديموافر:

Z9=(3+1)9=r9(cosθ+isinθ)9=(2)9(cosπ6+isinπ6)9Z9=1(2)9(cosπ6+isinπ6)9=1512(cos(9π6)+isin(9π6))Z9=1512(cos(3π2)+isin(3π2))=1512(cos3π2isin3π2)Z9=1512(0i(1))=i512

(3)- بسط ما يأتي:

[cos2θ+isin2θ]5[cos3θ+isin3θ]3

[cos2θ+isin2θ]5[cos3θ+isin3θ]3=[(cosθ+isinθ)2]5[(cosθ+isinθ)3]3=(cosθ+isinθ)10(cosθ+isinθ)9=cosθ+isinθ

(cosθ+isinθ)8(cosθisinθ)4

(cosθ+isinθ)8(cosθisinθ)4=(cosθ+isinθ)8(cos(θ)+isin(θ))4=(cosθ+isinθ)8(cosθ+isinθ)4=(cosθ+isinθ)4=cos4θ+isin4θ

(4)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب 1+3i باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

Z=1+3ir=(1)2+(3)2=1+3=4=2cosθ=xr=12 , sinθ=yr=32

زاوية الإسناد θ=π3 تقع في الربع الثاني θ=ππ3=2π3

Z=1+3i(1+3i)12=(r)12(cosθ+isinθ)12Z12=212[cos2π3+2kπ2+isin2π3+2kπ2]Z12=2(cos2π+6kπ32+isin2π+6kπ32)=2(cos2π+6kπ6+isin2π+6kπ6)Z1=2(cos2π6+isin2π6)=2(cosπ3+isinπ3)k=0Z1=2(12+i32)=12+i32Z2=2(cos8π6+isin8π6)=2(cos4π3+isin4π3)k=1

زاوية الإسناد 4π3 تقع في الربع الثالث θ=π4π3=4π3π3=π3

Z2=2(cosπ3isinπ3)=2(12i32)=1232i

(5)- باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد 27i

Z=27ir=x2+y2=(27)2=27cosθ=xr=027=0 , sinθ=yr=2727=1

زاوية الإسناد θ=π2 تقع في الربع الأول.

Z3=27i3Z13=r13(cosθ+isinθ)13=(27)13(cosπ2+isinπ2)13Z13=273(cos(π2+2kπ3)+isin(π2+2kπ3))k=0,1,2Z13=3(cos(π+4kπ6)+isin(π+4kπ6))k=0Z1=3(cos(π6)+isin(π6))=3[32+12i]=[332+32i]k=1Z2=3cos5π6+isin5π6

زاوية الإسناد 5π6 تقع في الربع الثاني θ=π5π6=π6

Z2=3(cos(π6)+isin(π6))=3[32+12i]=[332+32i]k=2Z3=3(cos(9π6)+isin(9π6))=3(cos(3π2)+isin(3π2))Z3=3(0+(1)i)=03i=3i

(6)- جد الجذور الأربع للعدد (-16) باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

الصيغة الوزارية:

جد حل المعادلة حيث x وباستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر x4+16=0

Z=16r=x2+y2=(16)2=16cosθ=xr=1616=1 , sinθ=yr=016=0

زاوية الإسناد θ=π

Z4=164Z14=r14(cosθ+isinθ)14=(16)14(cosπ+isinπ)14Zn=r1n[cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn)]Z14=164(cos(π+2kπn)+isin(π+2kπn))n=4 , k=0,1,2,3k=0Z1=2(cosπ4+isinπ4)=2[12+12i]=2+2ik=1Z2=2(cos3π4+isin3π4)=2(cosπ4+isinπ4)Z2=2(12+12i)=2+2ik=2Z3=2(cos5π4+isin5π4)=2(cosπ4isin5π4)Z3=2(1212i)=22ik=3Z4=2(cos7π4+isin7π4)=2(cosπ4isinπ4)Z4=2(1212i)=22i

(7)- جد الجذور الستة للعدد (-64i) باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

Z=64ir=x2+y2=(64)2=(64)2=64cosθ=xr=064=0 , sinθ=yr=6464=1

زاوية الإسناد θ=3π2

Z6=64i6Z16=r16(cosθ+isinθ)16=(64)16(cos3π2+isin3π2)16Zn=r1n[cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn)]Z16=646=[cos(3π2+2kπ6)+isin(3π2+2kπ6)]Z16=2[cos(3π+4kπ12)+isin(3π+4kπ12)] , k=0,1,2,5k=0Z1=2(cos3π12+isin3π12)=2(cosπ4+isinπ4)=2(12+12i)=2+2ik=1Z2=2(cos7π12+isin7π12)k=2Z3=2(cos11π12+isin11π12)k=3Z4=2(cos15π12+isin15π12)=2(cos5π4+isin5π4)=2(cosπ4isinπ4)k=4Z4=2(1212i)=221k=5Z6=2(cos23π12+isin23π12)

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات