حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

الصيغة القطبية للعدد المركب

الصيغة القطبية للعدد المركب

إذا كان z=x+yi=(x,y) فإن I(z)=y=rsinθ , R(z)=x=rcosθ حيث أن R(z) الجزء الحقيق للعدد المركب، I(z) الجزء التخيلي للعدد المركب، (r) مقياس العدد المركب وهو عدد حقيقي غير سالب ويسمى mod zويرمز له بالرمز ||Z|| وتسمى (θ) سعة العدد المركب وتكتب θ=arg(z) حيث θ[0,2π] ويمكن القول أن:

Z=z(cos(argZ)+isin(argZ)) أو يكتب Z=r(cosθ+isinθ)

المقياس r=Z=x2+y2

cosθ=xr=x||Z|| , sinθ=yr=y||Z||

الشكل يوضح كيفية إيجاد الزاوية باستخدام زاوية الإسناد وحسب موقعها والربع الذي تقع فيه.

(θ) إسناد الزاوية.

الشكل

(1)- جد المقياس والقيمة الأساسية للعدد المركب Z=1+3i

r=modZ=Z=x2+y2=(1)2+(3)2=1+3=4=2cosθ=xZ=12sinθ=yZ=32

تقع في الربع الأول والقيمة الأساسية للسعة:

θ=arg(z)=π3

(2)- إذا كان Z=1i فجد المقياس والقيمة الأساسية للعدد Z

r=x2+y2=1+1=2cosθ=xr=12sinθ=yr=12

زاوية الإسناد θ=π4 تقع في الربع الثالث.

القيمة الأساسية للسعة:

θ=arg(z)=π+π4=π1+π4=5π4

الصيغة القطبية:

Z=r(cosθ+isinθ)Z=2(cos5π4+isin5π4)

(3)- عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

2+2i

المقياس:

r=x2+y2=(2)2+(2)2=4+4=8=22

القيمة الأساسية:

cosθ=xr=222=12,sinθ=yr=222=12

زاوية الإسناد θ=π4 تقع في الربع الثاني.

سعة العدد المركب:

θ=arg(z)=ππ4=3π4

الصيغة القطبية:

Z=r(cosθ+isinθ)Z=22(cos3π4+isin3π4)

232i

المقياس:

r=x2+y2=(23)2+(2)2=4×3+4=16=4

القيمة الأساسية:

cosθ=xr=234=32 , sinθ=yr=24=12

زاوية الإسناد θ=π6 تقع في الربع الرابع.

سعة العدد المركب:

θ=2ππ6=11π6

الصيغة القطبية:

Z=r(cosθ+isinθ)Z=4[cos(11π6)+isin(11π6)]

(4)- عبر بالصيغة القطبية عن كل من الأعداد التالية:

1

r=x2+y2=(1)2+0=1=1cosθ=xr=11=1 , sinθ=yr=01=0 , θ=0Z=r(cosθ+isinθ)Z=1(cos0+isin0)

-1

r=x2+y2=(1)2+0=1=1cosθ=xr=11=1 , sinθ=yr=01=0 , θ=πZ=1(cosπ+isinπ)

i

r=x2+y2=0+(1)2=1=1cosθ=xr=01=0 , sinθ=yr=11=1 , θ=π2Z=1(cosπ2+isinπ2)

-i

r=x2+y2=0+1=1=1cosθ=xr=01=0 , sinθ=yr=11=1 , θ=3π2Z=1(cos3π2+isin3π2)

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات