رسم المخطط البياني للدالة

لرسم المخطط البياني لأي دالة معطاة نتبع الخطوات التالية والتي تمثل النقط الأساسية للرسم:

1. أوسع مجال للدالة.
2. نقط التقاطع مع المحورين.
3. التناظر.
4. المحاذيات.
5. دراسة $f\text{'}\left(x\right)$ وما ينتج عنها.
6. دراسة $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ وما ينتج عنها.
7. تحديد النقط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها.

1. أوسع مجال للدالة.

• كثيرات الحدود: أوسع مجال لها = $R$
• الدوال الكسرية: القيم التي تجعل المقام = صفر / $R/\mathrm{صفر}$
• الدوال الجذرية: $\mathrm{الجذر} \mathrm{داخل} \mathrm{التي} \mathrm{القيمة} \ge 0$

2. نقط التقاطع مع المحورين: وهي على نوعين:

• التقاطع مع المحور الصادي: لإيجاد نقط التقاطع مع المحور $\left(y\right)$ نجعل $\left(x=0\right)$ لإيجاد قيم $y$
• التقاطع مع المحور السيني: لإيجاد نقط التقاطع مع المحور $\left(x\right)$ نجعل $\left(y=0\right)$ لإيجاد قيم $x$

مثال توضيحي:

جد نقاط التقاطع:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3-4x\\ & x=0\Rightarrow y=0\\ & y=0\Rightarrow x^3-4x=0\Rightarrow x(x^2-4)=0\Rightarrow x(x-2)(x+2)=0\end{array}$

نقط التقاطع $(2,0),(-2,0),(0,0)$

3. التناظر: هو على نوعين:

• يكون المنحني متناظر مع المحور الصادي إذا كانت أسس المتغير $\left(x\right)$ كلها زوجية أي أن $f(-x)=f\left(x\right)$
• يكون المنحني متناظر حول نقطة الأصل إذا كانت أسس المتغير $\left(x\right)$ كلها فردية أي أن $f(-x)=-f\left(x\right)$

مثال توضيحي:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{1)}}f\left(x\right)=x^4-x^2-\frac{1}{x^2}\Rightarrow f(-x)=(-x{)}^4-(-x{)}^2-\frac{1}{(-x{)}^2} \\ f(-x)=x^4-x^2-\frac{1}{x^2} \\ \left(f\left(x\right)=f(-x)\right) \\ \mathbf{\text{2)}}f\left(x\right)=x^3-2x\Rightarrow f(-x)=(-x{)}^3-2(-x)=-x^3+2x=-[x^3-2x] \\ \left(f(-x)=-f\left(x\right)\right) \end{gathered}$$

4. المحاذيات: دراستنا للمحاذيات تقتصر على الدوال الكسرية فقط:

• المحاذي الأفقي الموازي لمحور السينات: تكون معادلته $y=\mathrm{عدد}$ هذا العدد هو حاصل قسمة معامل الحد الأكبر درجة من البسط على معامل الحد الأكبر درجة من المقام بشرط تساوي الدرجتين.
• المحاذي الشاقولي (العمودي) الموازي لمحور الصادات: نجعل الدالة بدلالة المتغير $x$ أي نجعل $y=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}$ ثم نجعل $h\left(x\right)=0$ ونجد قيم $\left(x\right)$ فهي تمثل معادلة المستقيم الشاقولي.

$f\left(x\right)=\frac{3x-4}{x+2}$

$\begin{array}{rl}& x+2=0\Rightarrow x=-2 \left(\left(\mathrm{العمودي}\right) \mathrm{الشاقولي} \mathrm{المحاذي}\right)\\ & y=\frac{3x-4}{x+2}\Rightarrow y=\frac{3}{1}\Rightarrow y=3 \left(\mathrm{الأفقي} \mathrm{المحاذي}\right)\end{array}$

$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x^2-4}$

$$\begin{gathered} x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2 \left(\left(\mathrm{العمودي}\right) \mathrm{الشاقولي} \mathrm{المحاذي}\right) \\ y=\frac{0x^2+x+3}{x^2-4} \left(\mathrm{الدرجتين} \mathrm{نساوي}\right) \Rightarrow y=\frac{\mathrm{للبسط} x^2 \mathrm{معامل}}{\mathrm{للمقام} x^2 \mathrm{معامل}}=\frac{0}{1}\Rightarrow y=0 \left(\mathrm{الأفقي} \mathrm{المحاذي}\right) \end{gathered}$$

$f\left(x\right)=\frac{x^2+3x+3}{x-5}$

$$\begin{gathered} x-5=0\Rightarrow x=5 \left(\left(\mathrm{العمودي}\right) \mathrm{الشاقولي} \mathrm{المحاذي}\right) \\ f\left(x\right)=\frac{x^2+3x+3}{x-5}=\frac{x^2+3x+3}{0x^2+x-5} \left(\mathrm{الدرجتين} \mathrm{نساوي}\right) \Rightarrow y=\frac{\mathrm{للبسط} x^2 \mathrm{معامل}}{\mathrm{للمقام} x^2 \mathrm{معامل}}=\frac{1}{0}\Rightarrow y=\left(\mathrm{معرف} \mathrm{غير}\right) \left(\mathrm{الأفقي} \mathrm{المحاذي}\right) \end{gathered}$$

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة $f\left(x\right)={(x^2-1)}^2$

• أوسع مجال للدالة = $R$
• نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y=0$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=y=0\Rightarrow {(x^2-1)}^2=0\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1 \\ (1,0),(-1,0) \left(\mathrm{التقاطع} \mathrm{نقاط}\right) \end{gathered}$$

2. المحور الصادي: $x=0$

$$\begin{gathered} y={\left(\right(0{)}^2-1)}^2=(-1{)}^2=1 \\ (0,1) \left(\mathrm{التقاطع} \mathrm{نقاط}\right) \end{gathered}$$

• التناظر: الدالة متناظرة مع المحور الصادي لأنه $f(-x)=f\left(x\right)$

$f(-x)={\left(\right(-x{)}^2-1)}^2={(x^2-1)}^2$

• المحاذيات: لا يوجد محاذيات.

• مناطق التزايد والتناقص.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& y\text{'}=2(x^2-1)\cdot 2x=4x^3-4x\\ & y=0\Rightarrow [4x^3-4x=0]÷4\\ & x^3-x=0\Rightarrow x(x^2-1)=0\\ & \text{either }x=0\\ & \text{or }{x}^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1 \left(\mathrm{مرشحة} \mathrm{حرجة} \mathrm{نقطة}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& x=\pm 1\Rightarrow y={\left[\right(\pm 1{)}^2-1]}^2=0 \left(\mathrm{محلية} \mathrm{صغرى} \mathrm{نهاية} \mathrm{نقطة}\right) (-1,0),(1,0)\\ & x=0\Rightarrow y={\left[\right(0{)}^2-1]}^2=1 \left(\mathrm{محلية} \mathrm{عظمى} \mathrm{نهاية} \mathrm{نقطة}\right) (0,1)\end{array} \end{gathered}$$

1. مناطق التناقص $(0,1) , \{x:x<-1\}$
2. مناطق التزايد $(-1,0) , \{x:x>1\}$

• مناطق التحدب والتقعر.

$\begin{array}{rl}& y^{\prime \prime }=12x^2-4\\ & 12x^2-4=0]÷4\\ & 3x^2-1=0\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\\ & y={[{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^2-1]}^2\Rightarrow y={[\frac{1}{3}-1]}^2={\left(\frac{-2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}\end{array}\begin{array}{}\end{array}$

• مناطق الانقلاب $\therefore (-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{4}{9}),(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{4}{9})$
• مناطق التحدب $(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$
• مناطق التقعر $\{x:x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\} , \{x:x>\frac{1}{\sqrt{3}}\}$

الرسم البياني:

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f\left(x\right)=x^5$

• أوسع مجال للدالة = $R$
• نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y=0$

$$\begin{gathered} x^5=0\Rightarrow x=0 \\ (0,0) \left(\mathrm{النقطة}\right) \end{gathered}$$

2. المحور الصادي: $x=0$

$$\begin{gathered} y=(0{)}^5=0 \\ (0,0) \left(\mathrm{النقطة}\right) \end{gathered}$$

• التناظر: الدالة متناظرة مع نقطة الأصل لأن:

$$\begin{gathered} f(-x)=-f\left(x\right) \\ f(-x)=(-x{)}^5=-x^5=-f(x) \end{gathered}$$

• المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.

• مناطق التزايد والتناقص.

$y\text{'}=5x^4\Rightarrow 5x^4=0\Rightarrow x=0$

لا توجد نقاط نهايات والدالة متزايدة في $\{x:x>0\},\{x:x<0\}$

$\left(0,0\right)$ نقطة حرجة لا تمثل نقطة نهاية.

• مناطق التحدب والتقعر.

$\begin{array}{rl}& y\text{'}\text{'}=20x^3\Rightarrow 20x^3=0\Rightarrow x=0\\ & y=(0{)}^5=0 , x=0\end{array}$

مناطق الانقلاب $\left(0,0\right)$

• الدالة محدبة في $\{x:x<0\}$
• الدالة مقعرة في $\{x:x>0\}$

الرسم البياني:

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة $f\left(x\right)=\frac{3x-1}{x+1}$

• أوسع مجال للدالة = $x+1=0\Rightarrow x=-1 , R/\{-1\}$
• نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y=0$

$0=\frac{3x-1}{x+1}\Rightarrow 3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\Rightarrow (\frac{1}{3},0)$

2. المحور الصادي: $x=0$

$f\left(0\right)=\frac{3\left(0\right)-1}{0+1}\Rightarrow y=-1\Rightarrow (0,-1)$

• التناظر: العدد $\left(1\right)$ ينتمي إلى مجال الدالة $\left(-1\right)$ لا ينتمي إلى الدالة لذلك فالمنحني غير متناظر مع محور الصادات وغير متناظر مع نقطة الأصل.
• المحاذيات:

$$\begin{gathered} x+1=0\Rightarrow x=-1 \left(\left(\mathrm{العمودي}\right) \mathrm{الشاقولي} \mathrm{المحاذي}\right) \\ y=\frac{3}{1}\Rightarrow y=3 \left(\mathrm{الأفقي} \mathrm{المحاذي}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{(x+1)\left(3\right)-(3x-1)\left(1\right)}{(x+1{)}^2}=\frac{3x+3-3x+1}{(x+1{)}^2}=\frac{4}{(x+1{)}^2} , f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0 \\ 4=0 \left(\mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\right) \mathrm{\forall }x\in R/\{-1\} , f\text{'}\left(x\right)>0 \end{gathered}$$

الدالة متزايدة في $\{x:x<-1\},\{x:x>-1\}$ ولا توجد نقاط حرجة.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4(x+1{)}^{-2} \\ f\text{'}\text{'}(x)=-8(x+1{)}^{-3}=\frac{-8}{(x+1{)}^3} , f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0 \\ -8=0 \left(\mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\right) \end{gathered}$$

• الدالة مقعرة في $\{x:x<-1\}$
• الدالة محدبة في $\{x:x>-1\}$

الدالة لا تملك نقطة انقلاب لأن $\left(-1\right)$ لا ينتمي إلى مجال الدالة.

الرسم البياني:

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني $y=\frac{x^2}{x^2+1}$

• أوسع مجال للدالة = $R$
• نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السينات:

$(0,0) , y=0\Rightarrow x=0$ مع محور السينات.

2. المحور الصادات:

$(0,0) , x=0\Rightarrow y=0$ مع محور الصادات.

التناظر مع الصادي: $\mathrm{\forall }x\in R , \mathrm{\exists }-x\in R$

$f(-x)=\frac{(-x{)}^2}{(-x{)}^2+1}=\frac{x^2}{x^2+1}$

$f(-x)=f\left(x\right)$ متناظرة مع المحور الصادي لأنها زوجية.

المحاذيات:

$\mathrm{الأفقي} \mathrm{المحاذي}=\frac{\mathrm{للبسط} x^2 \mathrm{معامل}}{\mathrm{للمقام} x^2 \mathrm{معامل}}$ $y=\frac{1}{1}=1\Rightarrow y=1$

لا يوجد محاذي عمودي $x^2+1\ne 0$

مناطق التزايد والتناقص.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{(x^2+1)\left(2x\right)-x^2\left(2x\right)}{{(x^2+1)}^2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x^3+2x-2x^3}{{(x^2+1)}^2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(2x\right)}{{(x^2+1)}^2} \\ \begin{array}{rl}& 0=\frac{\left(2x\right)}{{(x^2+1)}^2}\\ & 2x=0\Rightarrow x=0\end{array} \end{gathered}$$

$\left(0,0\right)$ نقطة نهاية صغرى محلية.

• تزايد $\{\mathrm{\forall }x:x>0\}$
• تناقص $\{\mathrm{\forall }x:x<0\}$

• $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{{(x^2+1)}^2\left(2\right)-2x\left(2\right)(x^2+1)\left(2x\right)}{{(x^2+1)}^4}\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{2{(x^2+1)}^2-8x^2(x^2+1)}{{(x^2+1)}^4}\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{(x^2+1)[2(x^2+1)-8x^2]}{{(x^2+1)}^4}\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{2x^2+2-8x^2}{{(x^2+1)}^3}=\frac{2-6x^2}{{(x^2+1)}^3}\\ & 0=\frac{2-6x^2}{{(x^2+1)}^3} \left(\mathrm{بالوسطين} \mathrm{الطرفين} \mathrm{بضرب}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2-6x^2=0\Rightarrow 6x^2=2\Rightarrow x^2=\frac{2}{6}\\ & x^2=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\\ & f(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^2}{{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^2+1}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{4}\end{array} \end{gathered}$$

محدبة في $\{x:x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\},\{x:x>\frac{1}{\sqrt{3}}\}$

مقعرة في الفترة المفتوحة $(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

نقطتا الانقلاب $(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{4}),(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{4})$

الرسم البياني:

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة $f\left(x\right)=x^3-3x^2+4$

• أوسع مجال للدالة = $R$
• نقاط التقاطع مع المحورين.

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow y=4\\ & y=0\Rightarrow x^3-3x^2+4=0 \left(\mathrm{المعادلة} \mathrm{حل} \mathrm{يمكن} \mathrm{لا}\right)\end{array}$

$(0,4)$ نقطة التقاطع مع المحور الصادي.

التناظر:

$\mathrm{\forall }x\in R\mathrm{\exists }(-x)\in R\Rightarrow f(-x)=(-x{)}^3-3(-x{)}^2+4=-x^3-3x^2+4\ne f\left(x\right)$

لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل لأن:

$f(-x)\ne -f\left(x\right) , f(-x)\ne f\left(x\right)$

• المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.
• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 3x^2-6x=0\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=0 , x=2\\ & f\left(0\right)=4\Rightarrow y=4\Rightarrow (0,4)\\ & f\left(2\right)=0\Rightarrow y=0\Rightarrow (2,0)\end{array}$

• $f$ متزايدة في كل من $\{x:x<0\},\{x:x>2\}$
• $f$ متناقصة في الفترة $(0,2)$
• $(0,4)$ نقطة نهاية عظمى محلية.
• $(2,0)$ نقطة نهاية عظمى محلية.

مناطق التقعر والتحدب.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x-6(f\text{'}\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 6x-6=0\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1\\ & f\left(1\right)=2\Rightarrow y=2\Rightarrow (1,2)\end{array}$

• $f$ مقعرة في $\{x:x>1\}$
• $f$ محدبة في $\{x:x><1\}$

نقطة الانقلاب $(1,2)$

الرسم البياني: