اختبار التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى المحلية

ملاحظة: لإيجاد مناطق التزايد والتناقص والنقاط الحرجة (إن وجدت ونوعها تتبع ما يلي):

1. نجد $f\text{'}\left(x\right)$ ونضعها تساوي صفراً وتستخرج قيم $x$
2. نجد صور $x$ وذلك بتعويض قيم $x$ الدالة الأصلية $f\left(x\right)$ فتكون لدينا نقاط حرجة مرشحة.
3. نختبر قيم $x$ على إشارة $f\text{'}\left(x\right)$ ونستخرج مناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى المحلية (إن وجدت).
4. لمعرفة نوع النقطة، فإذا كان تغير إشارة المشتقة موجب إلى سالب فالنقطة نهاية عظمي محلية.

النهاية العظمى والنهاية الصغرى المحلية:

لتكن $f$ دالة مستمرة على الفترة $\left[a,b\right]$ وقابلة للاشتقاق عند $\left(x=c\right)$ التي تنتمي الى الفترة المفتوحة $\left(a,b\right)$ فإذا كانت:

ملاحظة: إذا كانت النقطة:

• حرجة فقط $\left(-,-\right)$ or $\left(+,+\right)$
• نقطة نهاية صفري $\left(-,+\right)$
• نقطة نهاية عظمى $\left(+,-\right)$

(1)- جد مناطق التزايد والتناقص للدالة $f\left(x\right)=x^2$

$\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=2x(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ [2x=0]÷2\Rightarrow x=0\end{array}$

• $f$ متزايدة في $\{x:x>0\}$
• $f$ متناقصة في $\{x:x<0\}$

(2)- جد مناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى (إن وجدت) لكل مما يأتي:

$f\left(x\right)=9x+3x^2-x^3$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=9+6x-3x^2 \left(f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & [9+6x-3x^2=0]÷-3\\ & -3-2x+x^2=0\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\\ & \text{either }x-3=0\Rightarrow x=3\\ & \text{or}x+1=0\Rightarrow x=-1\end{array}$

• $f$ متزايدة في $\{x:x<-1\} , \{x:x>3\}$
• $f$ متناقصة في الفترة المفتوحة $(-1,3)$

$\left(-1,-5\right)$ نهاية صغرى محلية $f(-1)=9(-1)+3(-1{)}^2-(-1{)}^3=-9+3+1=-5$

$\left(3,27\right)$ نهاية عظمى محلية $f\left(3\right)=9\left(3\right)+3(3{)}^2-(3{)}^3=27+27-27=27$

ملاحظة: في حالة عدم إمكانية مساواة المشتقة الأولى بالصفر نثبت على خط الأعداد القيمة التي تجعل المقام صفر على شكل فجوة.

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2}$

$f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{\frac{-1}{3}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}$

في هذه الحالة نجعل مقام $f\text{'}\left(x\right)$ يساوي صفراُ ونستخرج قيمة $x$

أما $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\ne 0$ فتكون $f\text{'}\left(x\right)$ غير معرفة إذا كانت $\left(x=0\right)$ أي أن $\left(x=0\right)$ عدد حرج.

$x=0$ بالجذر التكعيبي $[3x^{\frac{1}{3}}=0]÷3\Rightarrow x^{\frac{1}{3}}=0$

لا توجد نهايات عظمى أو صغرى

• $f$ متزايدة في $\{x:x>0\}$
• $f$ متناقصة في $\{x:x<0\}$

$f\left(x\right)=1+(x-2{)}^2$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=2(x-2)\Rightarrow \left[2\right(x-2)=0]÷2(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & x-2=0\Rightarrow x=2\\ & f\left(2\right)=1+(2-2{)}^2=1+0=1\end{array}$

$\left(2,1\right)$ نهاية صغرى محلية

• $f$ متزايدة في $\{x:x>2\}$
• $f$ متناقصة في $\{x:x<2\}$

ملاحظة: هنالك ثلاث حالات لا يمكن أن نضع فيها $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0$ وهي:

1. إذا كانت $f\text{'}\left(x\right)=a$ حيث $a\in R$

(3)- جد مناطق التزايد والتناقص للدالة $f\left(x\right)=3x$

كانت $f\text{'}\left(x\right)=3>0\therefore f\text{'}\left(x\right)\ne 0$

الدالة متزايدة $\mathrm{\forall }x\in R$

يمكن ان تكون الدالة $f\left(x\right)$ متناقصة في حالة كون $f\text{'}\left(x\right)$ تساوي عدد سالب.

2. إذا كانت [مجموع مربعین $f\text{'}\left(x\right)$]

(4)- جد مناطق التزايد والتناقص للدالة $f\left(x\right)=x^3+x$

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2+1>0\therefore f\text{'}\left(x\right)\ne 0$

الدالة متزايدة $\mathrm{\forall }x\in R$ ولا توجد نقاط حرجة.

3. إذا كانت $f\text{'}\left(x\right)=\frac{\mathrm{ثابت}}{\mathrm{متغير}}$

(5)- جد مناطق التزايد والتناقص للدالة $f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{(x-2)\left(1\right)-(x+1)\left(1\right)}{(x-2{)}^2}=\frac{x-2-x-1}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}\ne 0(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))$

(6)- جد مناطق التزايد والتناقص للدالة $y=x^3-3x$

$\begin{array}{rl}& y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3 \left(y^{\mathrm{\prime }}=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & [3x^2-3=0]÷3\\ & x^2-1=0\Rightarrow x=\mp 1\end{array}$

• $y$ متزايدة $\{x:x>1\}$
• $y$ متناقصة في الفترة المفتوحة $(-1,1)$ $\{x:x<-1\}$

(7)- جد مناطق التزايد والتناقص للدالة $f\left(x\right)=x^4$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4x^3 \left(f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & [4x^3=0]÷4\Rightarrow x^3=0\Rightarrow x=0\end{array}$

• منطقة التزايد $\{x:x>0\}$
• منطقة التناقص $\{x:x<0\}$

(8)- جد مناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى والنقاط الحرجة إن وجدت:

$f\left(x\right)=(x+1{)}^3$

$$\begin{gathered} f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3(x+1{)}^2\cdot (1)=3(x+1{)}^2\left(f^{\mathrm{\prime }}\right(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)) \\ \left[3\right(x+1{)}^2=0]÷3\Rightarrow (x+1{)}^2=0 \left(\mathrm{بالجذر}\right) \end{gathered}$$

نقطة حرجة مرشحة ولا توجد نقاط نهايات $x+1=0\Rightarrow x=-1$

الدالة متزايدة.

$\{x:x<-1\} , \{x:x>-1\}$

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}$

الدالة الكسرية تحتاج إلى مجال الدالة لإيجاد النقطة الحرجة.

مجال الدالة $R/\left\{1\right\}$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{-2}{(x-1{)}^2} \left(f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & \frac{-2}{(x-1{)}^2}=0\Rightarrow -2=0 \left(\mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\right)\end{array}$

العدد الحرج $\left( x=1\right)$ هو الذي يجعل المقام يساوي صفر.

الدالة متناقصة في $\{x:x<1\} , \{x:x>1\}$

$f\left(x\right)=1-(x-2{)}^2$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-2(x-2)\left(1\right)\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-2x+4 \left(f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & [-2x+4=0]÷-2\\ & x-2=0\Rightarrow x=2\end{array}$

• مناطق التزايد $\{x:x>2\}$
• مناطق التناقص $\{x:x<2\}$

$f\left(2\right)=1-(2-2{)}^2=1$

النقطة $\left(2,1\right)$ نهاية عظمى محلية.

$f\left(x\right)=x^5$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=5x^4 \left(f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & [5x^4=0]÷5\Rightarrow x^4=0\Rightarrow x=0\end{array}$

$\left(0,0\right)$ نقطة حرجة.

مناطق التزايد $\{x:x>0\}$ , $\{x:x<0\}$ لا توجد نهايات للدالة لأن الدالة متزايدة في مجالها.

(9)- جد مناطق التزايد والتناقص والنقاط الحرجة مبيناً نوعها إن وجدت:

$f\left(x\right)=x^3-9x^2+24x$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=3x^2-18x+24 \left(f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & x^2-6x+8=0\Rightarrow (x-4)(x-2)=0\\ & \text{either }x-4=0\Rightarrow x=4\\ & \text{or}x-2=0\Rightarrow x=2\end{array}$

• $f$ متناقصة في الفترة المفتوحة $\left(2,4\right)$
• $f$ متزايدة في $\{x:x<2\} , \{x:x>4\}$
• $\left(2,20\right)$ نقطة نهاية عظمى محلية $f\left(2\right)=(2{)}^3-9(2{)}^2+24\left(2\right)=8-36+48=20$
• $\left(2,20\right)$ نقطة نهاية صغرى محلية $f\left(4\right)=(4{)}^3-9(4{)}^2+24\left(4\right)=64-144+96=16$