تطبيقات عملية على القيم العظمى والصغرى

ظهرت في الفيزياء الكثير من المسائل التي أدت إلى تطور حساب التفاضل والتكامل ومن هذه المسائل مسائل حساب أقصى ارتفاع تصله قذيفة أطلقت بزوايا مختلفة أو أقصى ارتفاع يصله جسم مقذوف شاقولياً إلى الأعلى أو أقل كلفة أو أقل زمن ومسائل من الصناعات مثل أقل مساحة وأكبر حجم وأقل محيط ..... إلخ.

لحل المسائل المتعلقة بهذا الموضوع تتبع ما يأتي:

1. نرسم شكلاً توضيحياً للسؤال إذا كان السؤال يحوي شكلاً هندسياً.
2. تعمل فرضية السؤال التي تعتمد على كلمة (جد، ما هي، عين، احسب، ...) أي تكون الفرضية على أساس المطلوب.
3. تكون علاقة رئيسية للدالة (أكبر ما يمكن، أبعد ما يمكن، أصغر ما يمكن، أطول مسافة، أقل كمية ....) ثم نبدأ بتكوين الدالة على أساس هذه الكلمات وأكثر الأحيان تكون هذه الدالة (قانون حجم، مساحة، محيط، فيثاغورس، تشابه مثلثات، دوال دائرية ....) أما العلاقة الثانية فهي تكون علاقة مساعدة نأخذها من السؤال أو الرسم.
4. نشتق الدالة المشتقة الأولى ونساوي المشتقة الأولى إلى الصفر ونجد القيم ونميزها على خط الأعداد، بعض القيم تهمل إذا لم تنطبق مع السؤال أو المطلوب من خلال الإشارة مثلاً وفي بعض الأسئلة مثلاً يعطى المثلث فإذا كان المثلث خالي من مستقيم يوازي أحد الأضلاع تستخدم نظرية فيثاغورس، أما إذا كان المثلث يحوي مستقيم يوازي أحد الأضلاع نستخدم التناسب $\frac{ad}{ab}=\frac{ae}{ac}$

(1)- جد عددين مجموعهما $8$ وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن.

الفرضية:

• نفرض العدد الأول = $x$
• نفرض العدد الثاني = $y$

الدالة: حاصل ضربهما = m

$\begin{array}{rl}& x+y=8\\ & y=8-x\dots \dots \left(1\right)\\ & m=xy\\ & m=x(8-x)\\ & m=8x-x^2 \left(\mathrm{نشتق}\right)\\ & m^{\mathrm{\prime }}=8-2x \left(m^{\mathrm{\prime }}=0\right)\\ & 8-2x=0\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4 \left(1 \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right) \end{array}$

• العدد الأول $x=4$
• العدد الثاني $y=8-4=4$

(2)- جد العدد الذي إذا أضيف إلى مربعه يكون الناتج أصغر ما يمكن.

الفرضية:

• نفرض العدد = $x$
• نفرض مربعه = $x^2$

الدالة: $f\left(x\right)=x+x^2$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=1+2x\left(f^{\mathrm{\prime }}\right(x)=0)\\ & 1+2x=0\Rightarrow 2x=-1\Rightarrow \frac{2x}{2}=\frac{-1}{2}\\ & \therefore x=\frac{-1}{2}\end{array}$

(3)- جد بعدي أكبر مستطيل يمكن أن يوضع داخل مثلث طول قاعدته ($\left(24cm\right)$ وارتفاعه $\left(18cm\right)$ بحيث أن رأسين متجاورين من رؤوسه تقعان على القاعدة والرأسين الباقيين تقعان على ساقيه.

الفرضية: نفرض بعدي المستطيل $x,y$

الدالة: مساحة المستطيل = حاصل ضرب بعديه.

$A=xy$

العلاقة: تشابه المثلثان $\text{btr, bcq}$ (لتساوي زواياهما المتناظرة لذا تتناسب أضلاعهما المتناظرة وكذلك ارتفاعاهما).

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{tr}{cq}=\frac{ba}{bq}\Rightarrow \frac{y}{24}=\frac{18-x}{18}\\ & y=\frac{24}{18}(18-x)\Rightarrow y=\frac{4}{3}(18-x)\\ & \therefore A=xy=x\left(\frac{4}{3}\right(18-x\left)\right)\\ & A=\frac{4}{3}(18x-x^2)\\ & \frac{dA}{dx}=\frac{4}{3}(18-2x)(\frac{dA}{dx}=0)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \left[\frac{4}{3}\right(18-2x)=0]÷\frac{3}{4}\\ & 18-2x=0\Rightarrow 2x=18\Rightarrow x=9\\ & y=\frac{4}{3}(18-9)=12\end{array} \end{gathered}$$

بعدي المستطيل هما $9,12$

(4)- صنع صندوق مفتوح من قطعة النحاس مربعة الشكل طول ضلعها $12cm$ وذلك بقص أربع مربعات متساوية الأبعاد من أركانها الأربعة ثم ثني الأجزاء البارزة منها، ما هو الحجم الأعظم لهذه العلبة؟

الفرضية:

1. نفرض طول الضلع المربع المقطوع = $x$
2. أبعاد الصندوق = $(12-2x,12-2x,x)$

• الدالة: الحجم = حاصل ضرب الأبعاد الثلاثة.
• العلاقة: لا نحتاج إلى علاقة لأن المعادلة تحتوي على متغير واحد.

$\begin{array}{rl}& v=(12-2x)(12-2x)x\\ & v=(144-24x-24x+4x^2)x\\ & v=x(144-48x+4x^2)\\ & v=144x-48x^2+4x^3\\ & \frac{dv}{dx}=144-96x+12x^2(\frac{dv}{dx}=0)\\ & [144-96x+12x^2=0]÷12\\ & x^2-8x+12=0\Rightarrow (x-6)(x-2)=0\\ & \text{either }x=6 \left(\mathrm{يمكن} \mathrm{لا}\right)\\ & or x=2\\ & v=2(12-4{)}^2=128{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

(5)- مخروط دائري قائم مولده $9\sqrt{3}\mathrm{cm}$ جد ارتفاعه لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن.

الفرضية:

1. نفرض ارتفاع المخروط = $h$
2. نفرض نصف قطر المخروط = $r$

• الدالة: حجم المخروط
• العلاقة: نظرية فيثاغورس.

$\begin{array}{rl}& v=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h \left(\mathrm{الدالة}\right)\\ & r^2+h^2=(9\sqrt{3}{)}^2 \left(\mathrm{العلاقة}\right)\\ & r^2=243-h^2 \left(\mathrm{الدالة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & v=\frac{\pi }{3}(243-h^2)h\\ & v=\frac{\pi }{3}(243h-h^3)\\ & v^{\mathrm{\prime }}=\frac{\pi }{3}(243-3h^2)(v^{\mathrm{\prime }}=0)\\ & [\frac{\pi }{3}(243-3h^2)=0]÷\frac{\pi }{3}\\ & [243-3h^2=0]÷3\Rightarrow 81-h^2=0\Rightarrow h^2=81\Rightarrow h=9\mathrm{cm} \left(\mathrm{المخروط} \mathrm{ارتفاع}\right)\end{array}$

(6)- جد بعدي أكبر مثلث متساوي الساقين يمكن أن يوضع داخل دائرة نصف قطرها $12cm$ ثم برهن أن نسبة مساحة المثلث إلى مساحة الدائرة كنسبة $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }$

الفرضية:

1. نفرض ارتفاع المثلث = $h$
2. نفرض طول قاعدة المثلث = $2x$

• الدالة: مساحة المثلث = $\frac{1}{2}$ القاعدة × الارتفاع.
• العلاقة: المثلث القائم الزاوية $r^2=(h-12{)}^2+x^2$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& A=\frac{1}{2}2xh\\ & A=xh\dots \dots \left(1\right)\\ & (12{)}^2=(h^2-24h+144)+x^2\\ & 144=h^2-24h+144+x^2\\ & h^2-24h+x^2=0\\ & x^2=24h-h^2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& x=\sqrt{24h-h^2} ....\left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \left(2\right) \mathrm{نعوض}\right)\\ & A=h\sqrt{24h-h^2}\\ & A=\sqrt{24h^3-h^4}\\ & \frac{dA}{dh}=\frac{72h^2-4h^3}{2\sqrt{24h^3-h^4}}(\frac{dA}{dh}=0)\\ & [72h^2-4h^3=0]÷4\\ & 18h^2-h^3=0\\ & h^2(18-h)=0\\ & \text{either }{h}^2\Rightarrow h=0 \left(\mathrm{يهمل}\right)\\ & \text{or}18-h=0\Rightarrow h=18 \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& x=\sqrt{24h-h^3}\\ & x=\sqrt{24\left(18\right)-(18{)}^2}=\sqrt{\left(18\right)(24-18)}=\sqrt{\left(18\right)\left(6\right)}=\sqrt{108}\\ & x=6\sqrt{3}\mathrm{cm}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2x=2\left(6\sqrt{3}\right)=12\sqrt{3}\mathrm{cm} \left(\mathrm{القاعدة} \mathrm{طول}\right)\\ & A=xh=6\sqrt{3}\left(18\right)=108\sqrt{3}\mathrm{cm} \left(\mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة}\right)\\ & A=\pi r^2 \left(\mathrm{الدائرة} \mathrm{مساحة}\right)\\ & A=\pi (12{)}^2=144\pi \\ & \frac{\mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة}}{\mathrm{الدائرة} \mathrm{مساحة}}=\frac{108\sqrt{3}}{144\pi }=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }\end{array} \end{gathered}$$

(7)- مجموع محيطي دائرة ومربع $\left(60cm\right)$ أثبت أنه عندما يكون مجموع مساحتي الشكلين أصغر ما يمكن، فإن طول قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع.

الفرضية:

1. نفرض طول ضلع المربع = $x$
2. نفرض نصف قطر الدائرة = $r$

• الدالة: المساحة = مساحة المربع + مساحة الدائرة.
• العلاقة: محيط المربع + محيط الدائرة = $60cm$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& A=x^2+\pi r^2\\ & [4x+2\pi r=60]÷2\Rightarrow 2x+\pi r=30\\ & \pi r=30-2x\Rightarrow r=\frac{30-2x}{\pi }\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \therefore A=x^2+\pi r^2=x^2+\pi {\left(\frac{30-2x}{\pi }\right)}^2\\ & \therefore A=x^2+\frac{1}{\pi }(30-2x{)}^2=x^2+\frac{1}{\pi }(900-120x+4x^2)\\ & \frac{dA}{dx}=2x+\frac{1}{\pi }(-120+8x)(\frac{dA}{dx}=0)\\ & 2x+\frac{1}{\pi }(-120+8x)=0]÷\frac{\pi }{2}\\ & x\pi -60+4x=0\Rightarrow x\pi +4x=60\Rightarrow x(\pi +4)=60\Rightarrow x=\frac{60}{\pi +4} \left(\mathrm{المربع} \mathrm{ضلع} \mathrm{طول}\right)\\ & \mathrm{الدائرة} \mathrm{قطر}=2r=2\left[\frac{1}{\pi }\right(30-2x\left)\right]=\frac{2}{\pi }(30-2\frac{60}{\pi +4})=\frac{2}{\pi }(30-\frac{120}{\pi +4})\\ & \mathrm{الدائرة} \mathrm{قطر}=\frac{2}{\pi }\left(\frac{30\pi +120-120}{\pi +4}\right)=\frac{2}{\pi }\left(\frac{30\pi }{\pi +4}\right)=\left(\frac{60}{\pi +4}\right)\therefore x=2r\end{array} \end{gathered}$$

(8)- جد نقطة أو نقاط تنتمي للقطع الزائد $y^2-x^2=3$ بحيث تكون أقرب ما يمكن للنقطة $\left(0,4\right)$.

• الفرضية: نفرض أن النقطة $p(x,y)$ هي من نقط المنحني $y^2-x^2=3$ بحيث تكون أقرب ما يمكن للنقطة.
• الدالة: قانون المسافة بين نقطتين.
• العلاقة: معادلة القطع الزائد.

$\begin{array}{rl}& S=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-4{)}^2}\\ & y^2-x^2=3\\ & S=\sqrt{x^2+y^2-8y+16}\\ & x^2=y^2-3 ...\left(*\right) \left(\mathrm{المسافة} \mathrm{قانون} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & S=\sqrt{(y^2-3)+y^2-8y+16}\\ & S=\sqrt{2y^2-8y+13}\\ & \frac{dS}{dy}=\frac{4y-8}{2\sqrt{2y^2-8y+13}}(\frac{dS}{dy}=0)\\ & \frac{4y-8}{2\sqrt{2y^2-8y+13}}=0\\ & 4y-8=0\Rightarrow 4y=8\Rightarrow y=2 \left(\left(*\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & x^2=(2{)}^2-3=4-3=1\\ & x^2=1\Rightarrow x=\pm 1\\ & (1,2),(-1,2) \left(\mathrm{النقاط}\right)\end{array}$

ملاحظات:

1. يمكن القول عن دالة المساحة في بعض الأحيان أكبر أو أصغر مسطح للشكل.
2. يمكن القول أن دالة الحجم أو السعة في بعض الأحيان أكبر أو أصغر مجسم للشكل.