تطبيقات التفاضل

القواعد الأساسية للمشتقة (مراجعة):

القاعدة الأولى: مشتقة الدالة الثابتة تساوي الصفر.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0 \\ f\left(x\right)=\frac{2}{5}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0 \end{gathered}$$

القاعدة الثانية: إذا $f\left(x\right)=x^n$ كان فإن $f\text{'}\left(x\right)=n{x}^{n-1}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3x^2\\ & f\left(x\right)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$

القاعدة الثالثة: إذا كان $f\left(x\right)=a{x}^n$ فإن $f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{an}{x}^{n-1}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=6x^4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=24x^3\\ & f\left(x\right)=7\sqrt{x}=7x^{\frac{1}{2}}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=7\left(\frac{1}{2}\right)x^{\frac{-1}{2}}=\frac{7}{2\sqrt{x}}\\ & f\left(x\right)=-5x^{-3}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=15x^{-4}=\frac{15}{x^4}\end{array}$

القاعدة الرابعة: مشتقة مجموع دوال يساوي مجموع مشتقاتها.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3+7x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3x^2+7\\ & f\left(x\right)=6x^4+\frac{1}{x}\Rightarrow f\left(x\right)=6x^4+x^{-1}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=24x^3-x^{-2}=24x^3-\frac{1}{x^2}\end{array}$

القاعدة الخامسة: (مشتقة حاصل ضرب دالتين = الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية + الدالة الثانية ×مشتقة الأولى).

$f\left(x\right)=(4x^3+7x)\left(2x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=(4x^3+7x)\left(2\right)+\left(2x\right)(12x^2+7)=8x^3+14x+24x^3+14x$

القاعدة السادسة: مشتقة قسمة دالتين = $\frac{\mathrm{المقام} \mathrm{مشتقة}\times \mathrm{البسط}-\mathrm{البسط} \mathrm{مشتقة}\times \mathrm{المقام}}{\left({\mathrm{المقام}}^2\right)}$

$f\left(x\right)=\frac{2x^3+1}{x^4+1}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{(x^4+1)\left(6x^2\right)-(2x^3+1)\left(4x^3\right)}{{(x^4+1)}^2}=\frac{6x^6+6x^2-8x^6-4x^3}{{(x^4+1)}^2}$

القاعدة السابعة: مشتقة مجموعة دوال مرفوعة لأس معين إذا كان $f\left(x\right)=\left[g\right(x){]}^n$ فإن $f\text{'}\left(x\right)=n\left[g\right(x){]}^{n-1}\cdot g\text{'}(x)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)={(4x^3+7x)}^5\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=5{(4x^3+7x)}^4\cdot 12x^2+7\\ & f\left(x\right)=x^2\sqrt{4x^3+2x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=x^2{(4x^3+2x)}^{\frac{1}{2}}\end{array} \\ \begin{array}{rl}f\text{'}\left(x\right)& =x^2\left[\frac{1}{2}{(4x^3+2x)}^{-\frac{1}{2}}(12x^2+2)\right]+{(4x^3+2x)}^{\frac{1}{2}}\cdot \left(2x\right)\\ & =\frac{x^2(12x^2+2)}{2{(4x^3+2x)}^{\frac{1}{2}}}+2x{(4x^3+2x)}^{\frac{1}{2}}\end{array} \end{gathered}$$

القواعد الأساسية لاشتقاق الدوال الدائرية:

$\begin{array}{rl}* & f\left(x\right)=\sin y\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\cos \left(y\right)\cdot \frac{dy}{dx}\\ * & f\left(x\right)=\cos y\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-\sin \left(y\right)\cdot \frac{dy}{dx}\\ * & f\left(x\right)=\tan y\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)={\sec }^2\left(y\right)\cdot \frac{dy}{dx}\\ * & f\left(x\right)=\cot y\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-{\csc }^2\left(y\right)\cdot \frac{dy}{dx}\\ * & f\left(x\right)=\sec y\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\sec y\tan y\cdot \frac{dy}{dx}\\ * & f\left(x\right)=\csc y\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-\csc y\cot y\cdot \frac{dy}{dx}\end{array}$

بعض العلاقات والقوانين المهمة:

$$\begin{gathered} * {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1 \\ * \cos \left(2x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x \\ * \sin \left(2x\right)=2\sin x\cos x \\ * \csc =\frac{1}{\sin x} \\ * \sec =\frac{1}{\cos x} \\ * \cot =\frac{1}{\tan x} \\ * {\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x \\ * {\cot }^{2}x+1={\csc }^{2}x \\ * \sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B \\ * \cos (A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B \end{gathered}$$

(1)- جد مشتقة ما يأتي:

$\frac{\mathrm{التربيعي} \mathrm{الجذر} \mathrm{داخل} \mathrm{مشتقة}}{\left(\mathrm{الجذر} \mathrm{دليل}\right)\sqrt{x^{\mathrm{الدليل}-1}}}$

$f\left(x\right)=\sqrt{\sin x}$

$f\left(x\right)=\sqrt{\sin x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

$f\left(x\right)={\sin }^{2}x=(\sin x{)}^2$

$f\left(x\right)={\sin }^{2}x=(\sin x{)}^2\Rightarrow f\text{'}(x)=2\sin x\cdot (\cos x)$

$f\left(x\right)=\sin x\cos x$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sin x\cos x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\sin x(-\sin x)+\cos x(\cos x) \\ =-{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos \left(2x\right) \end{gathered}$$

$f\left(x\right)=\tan x-x$

$f\left(x\right)=\tan x-x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)={\sec }^{2}x-1=({\tan }^{2}x+1)-1={\tan }^{2}x$