تمارين (4-3)

(1)- لتكن $f\left(x\right)=a{x}^2-6x+b$ حيث $a\in \{-4,8\} , b\in R$ جد قيمة $a$ إذا كانت:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^2-6x+b\\ & f\text{'}\left(x\right)=2ax-6\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2a\end{array}$

$f$ محدبة

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)<0\Rightarrow 2a<0\Rightarrow a<0\Rightarrow a=-4$

$f$ مقعرة

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0\Rightarrow 2a>0\Rightarrow a>0\Rightarrow a=8$

(2)- إذا كانت $\left(2,6\right)$ نقطة حرجة لمنحني الدالة $f\left(x\right)=a-(x-b{)}^4$ فجد $a,b$ وبين نوع النقطة الحرجة.

$\mathrm{\exists }(2,6)\because$ للمنحني فهي تحقق معادلة المنحني.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a-(x-b{)}^4\\ & f\text{'}\left(x\right)=-4(x-b{)}^3\Rightarrow -4(2-b{)}^3=0]÷(-4)\end{array}$

نجعل $f\text{'}\left(x\right)=0$ عند $x=2$ لأن النقطة $(2,6)$ نقطة حرجة.

$\begin{array}{rl}& (2-b{)}^3=0\Rightarrow 2-b=0\Rightarrow b=2\\ & 6=a-(2-b{)}^4\dots \dots \dots (1)\end{array}$

بالتعويض عن قيمة $\left(b\right)$ في المعادلة (1) نحصلى على:

$\begin{array}{rl}& 6=a-(2-2{)}^4\Rightarrow a=6\\ & f\text{'}\left(x\right)=-4(x-b{)}^3\Rightarrow f(x)=-4(x-2{)}^3\end{array}$

$(2,6)\because$ تمتلك نهاية عظمى محلية.

(3)- إذا كان $g\left(x\right)=1-12x , f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ وكان كل من $f,g$ متماسان عند نقطة انقلاب المنحني $f$ وهي $(1,-11)$ فجد قيمة الثوابت $a,b,c\in R$

الدالتين $f\left(x\right) , g\left(x\right)$ متماستان عند نقطة انقلاب.

ميل الدالتين $f\left(x\right) , g\left(x\right)$ عند $(x=1)$ متساويان أي $f\text{'}\left(x\right) , g\text{'}\left(x\right)$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c\\ & g\left(x\right)=1-12x\Rightarrow g\left(x\right)=-12\\ & 3a{x}^2+2bx+c=-12\Rightarrow 3a(1{)}^2+2b(1)+c=-12\Rightarrow 3a+2b+c=-12\dots \end{array}$

النقطة $\left(1,-11\right)$ نقطة انقلاب للدالة $f\left(x\right)$ فإن $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$ عندما $x=1$

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6ax+2b\Rightarrow 6a+2b=0]÷2\Rightarrow 3a+b=0\dots (2)$

النقطة $\left(1,-11\right)$ تحقق معادلة المنحني $f\left(x\right)$

$f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx\Rightarrow -11=a+b+c\dots \left(3\right)$

وبحل (3) و(2) و(1) آنياً نحصل على:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 3a+2b+c=-12...\left(1\right)\\ & \mp a\mp b\mp c=+11...\left( 3\right) \left(\mathrm{بالطرح}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2a+b=-1...\left(4\right)\\ & \mp 3a\mp b=0...\left(2\right) \left(\mathrm{بالطرح}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -a+0=-1\Rightarrow a=1 \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & b=-3a\Rightarrow b=-3 \left(\left(3\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & a+b+c=-11\Rightarrow c=-11-a-b=-11-1+3\Rightarrow c=-9\end{array} \end{gathered}$$

(4)- إذا كانت $6$ تمثل نهاية صغرى محلية لمنحني الدالة $f\left(x\right)=3x^2-x^3+c$ فجد قيمة $c$ ثم جد معادلة المماس للمنحني في نقطة انقلابه.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=3x^2-x^3+c\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=6x-3x^2(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 6x-3x^2=0]÷3\Rightarrow 2x-x^2=0\Rightarrow x(2-x)=0\\ & x=0 \text{or }2-x=0\Rightarrow x=2\end{array}$

$(0,6)$ نهاية صغرى محلية وتحقق معادلة المنحني.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3x^2-x^3+c\Rightarrow 6=3(0{)}^2-(0{)}^3+c\Rightarrow c=6 \\ \begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=6x-3x^2\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6-6x(f\text{'}\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 6-6x=0\Rightarrow 6=6x\Rightarrow x=1\\ & f\left(1\right)=3(1{)}^2-(1{)}^3+6=3-1+6=8\end{array} \end{gathered}$$

$\left(1,8\right)$نقطة انقلاب (نقطة ميل المماس) اي نحسب $f\text{'}\left(x\right)$ عندما $x=1$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(1\right)=6\left(1\right)-3(1{)}^2=6-3=3 \left(\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right)\\ & y-y_1=m(x-x_1)\Rightarrow y-8=3(x-1)\\ & y-8=3x-3\Rightarrow y-8-3x+3=0\end{array}$

معادلة المماس للمنحني عند انقلابه $y-3x-5=0$

(5)- إذا كان $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ وكانت $f$ مقعرة $(\mathrm{\forall }x>1)$ محدبة $(\mathrm{\forall }x<1)$وللدالة $f$ نقطة نهاية عظمى محلية هي $(-1,5)$ فجد قيمة الثوابت $a,b,c\in R$

النقطة $(-1,5)$ تحقق دالة المنحني.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx\Rightarrow 5=a(-1{)}^3+b(-1{)}^2+c(-1)\\ & -a+b-c=5\dots \dots \left(1\right)\end{array}$

النقطة $(-1,5)$ نقطة نهاية عظمى محلية للدالة $f$ فنجعل $f\text{'}\left(x\right)=0$ عندما $x=-1$
$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c\Rightarrow 3a(-1{)}^2+2b(-1)+c=0\\ & 3a-2b+c=0\dots .\left(2\right)\end{array}$

الدالة $f$ مقعرة $(\mathrm{\forall }x>1)$ محدبة $(\mathrm{\forall }x<1)$ نجعل $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$ عندما $x=-1$ لأنه توجد نقطة انقلاب

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6ax+2b\Rightarrow 6a\left(1\right)+2b=0\Rightarrow 6a+2b=0\dots \dots \left(3\right)\\ & -a+b-c=5\dots \dots \left(1\right)\\ & 3a-2b+c=0\dots \dots \left(2\right) \left(\mathrm{بالجمع}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2a-b=5\dots \dots \left(4\right)]\times 2\\ & 6a+2b=0\dots \dots \left(3\right)\\ & 4a-2b=10\dots \left(4\right)\\ & 6a+2b=0\dots .\left(3\right) \left(\mathrm{بالجمع}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 10a+0=10\Rightarrow 10a=10\Rightarrow a=1 \left(\left(3\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & 6a+2b=0\Rightarrow 6\left(1\right)+2b=0\Rightarrow 2b=-6\Rightarrow b=-3\\ & c=-a+b-5=-1+(-3)-5\Rightarrow c=-9\end{array} \end{gathered}$$

(6)- لتكن $a\in R/\left\{0\right\} , x\ne 0f\left(x\right)=x^2-\frac{a}{x}$ برهن أن الدالة $f$ لا تمتلك نهاية عظمى محلية.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^2-a{x}^{-1}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2x+a{x}^{-2}=2x+\frac{a}{x^2}(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & [2x+\frac{a}{x^2}=0]\Rightarrow \frac{a}{x^2}=-2x\Rightarrow a=-2x^3\Rightarrow x^3=\frac{-a}{2}\dots \dots \left(1\right)\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2-2a{x}^{-3}=2-\frac{2a}{x^3}\\ & f\text{'}\text{'}\left(\frac{-a}{2}\right)=2-\frac{2a}{\frac{-a}{2}}=2-2a\left(\frac{-2}{a}\right)=2+4=6>0 ,f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0\end{array}$

• الدالة $f$ لا تمتلك نهاية عظمى محلية مهما كانت قيمة $a$
• الدالة $f$ تمتلك نهاية صغرى محلية مهما كانت قيمة $a$

(7)- المستقيم $3x-y=7$ يمس المنحني $y=a{x}^2+bx+c$ عند $(2,-1)$ وكانت له نهاية محلية عند $x=\frac{1}{2}$ جد قيمة $a,b,c\in R$ وما نوع النهاية؟

النقطة $(2,-1)$ تحقق معادلة المنحني.

$y=a{x}^2+bx+c\Rightarrow -1=a(2{)}^2+b(2)+c\Rightarrow 4a+2b+c=-1$

للمنحني نهاية محلية عند $x=\frac{1}{2}$ فإن $y\text{'}=0$ عندما $x=\frac{1}{2}$

$y\text{'}=2ax+b\Rightarrow 2ax+b=0\Rightarrow 2a\left(\frac{1}{2}\right)+b=0\Rightarrow a+b=0$

نجد معادلة ميل المستقيم المماس من معادلته $3x-y=7$

ميل المماس = $\frac{-3}{-1}=3$

نجد ميل منحني الدالة عند نقطة التماس (أي نجد $y\text{'}$ عندما $x=2$)

$y\text{'}=2ax+b=2a\left(2\right)+b\Rightarrow y\text{'}=4a+b$

ميل المستقيم المماس = ميل المنحني للدالة عند نقطة التماس.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& y\text{'}=4a+b\Rightarrow 4a+b=3...\left(3\right)\\ & a+b=0...\left(2\right)\\ & \mp 4a\mp b=\mp 3\dots \left(3\right) \left(\mathrm{بالطرح}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -3a=-3\Rightarrow a=1 \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & 1+b=0\Rightarrow b=-1 \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 4\left(1\right)+2(-1)+c=-1\Rightarrow 4-2+c=-1\Rightarrow 2+c=-1\Rightarrow c=-3\\ & y=x^2-x-3\\ & x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\left(\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{2}-3=-3\frac{1}{4}\end{array} \end{gathered}$$

$(\frac{1}{2},-3\frac{1}{4})$ تمثل نهاية صغرى محلية.