أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد تقريباً لكل مما يأتي باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة أو نتيجتها:

$\sqrt[4]{82}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{array}{rl}& a=81\\ & b=82\\ & h=b-a=82-81=1\\ & f\left(x\right)=\sqrt[4]{x}\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\\ & f\left(a\right)=\sqrt[4]{a}\Rightarrow f\left(81\right)=\sqrt[4]{81}=3\\ & f\text{'}\left(a\right)=\frac{1}{4\sqrt[4]{a^3}}\Rightarrow f\text{'}\left(81\right)=\frac{1}{4\sqrt[4]{(81{)}^3}}=\frac{1}{4(3{)}^3}=\frac{1}{4\left(27\right)}=\frac{1}{108}=0.009\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f(81+1)\cong f\left(81\right)+\left(1\right)f\text{'}\left(81\right)\Rightarrow f\left(82\right)\cong 3+\left(1\right)\left(0.009\right)=3.009\end{array}$

$\sqrt[3]{0.126}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{array}{rl}& a=0.125\\ & b=0.126\\ & h=b-a=0.126-0.125=0.001\\ & f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ & f\left(a\right)=\sqrt[3]{a}\Rightarrow f\left(0.125\right)=\sqrt[3]{0.125}=0.5\\ & f\text{'}\left(a\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{a^2}}\\ & f\text{'}\left(0.125\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(0.125{)}^2}}=\frac{1}{3(0.5{)}^2}=\frac{1}{3\left(0.25\right)}=\frac{1}{0.75}=1.3333\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f(0.125+0.001)\cong 0.5+\left(0.001\right)\left(1.3333\right)\\ & f\left(0.126\right)\cong 0.5+0.00133=0.50133\end{array}$

$\sqrt[5]{-31}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{array}{rl}& a=-32\\ & b=-31\\ & h=b-a=-31-(-32)=1\\ & f\left(x\right)=\sqrt[5]{x}\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}\\ & f\left(a\right)=\sqrt[5]{a}\Rightarrow f(-32)=\sqrt[5]{-32}=-2\\ & f\text{'}\left(a\right)=\frac{1}{5\sqrt[5]{a^4}}\Rightarrow f\text{'}(-32)=\frac{1}{5\sqrt[5]{(-32{)}^4}}=\frac{1}{5(-2{)}^4}=\frac{1}{80}=0.0125\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f(-31)\cong f(-32)+\left(1\right)f\text{'}(-32)\Rightarrow f(-31)\cong -2+\left(1\right)\left(0.0125\right)=-1.9875\end{array}$

(2)- باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة جد بصورة تقريبية طول ضلع مربع مساحته $\left(50m^2\right)$

مساحة المربع = مربع طول الضلع.

$A=x^2\Rightarrow 50=x^2\Rightarrow x=\sqrt{50}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& a=49 \\ b=50\\ & h=b-a=50-49=1\\ & f\left(x\right)=\sqrt{x}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ & f\left(a\right)=\sqrt{a}\Rightarrow f\left(49\right)=\sqrt{49}=7\\ & f\text{'}\left(a\right)=\frac{1}{2\sqrt{a}}\Rightarrow f\text{'}\left(49\right)=\frac{1}{2\sqrt{49}}=\frac{1}{14}=0.071\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f(49+1)\cong f\left(49\right)+\left(1\right)f\text{'}\left(49\right)\Rightarrow f\left(50\right)\cong 7+\left(1\right)\left(0.071\right)=7.071\end{array} \end{gathered}$$