حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

حل المعادلات التفاضلية المتجانسة

ثانياً المعادلة التفاضلية المتجانسة:

هي المعادلة التي نستطيع كتابتها بالشكل dydx=f(yx) فمثلاً المعادلة (x4y4)dydx=x3y يمكن كتابتها بالصورة dydx=yx1+(yx)4 (بقسمة طرح المعادلة على x4).

ملاحظة: لمعرفة المعادلة متجانسة نقوم بوضع x عن كل y في المعادلة فإذا كانت الأسس متساوية فإن المعادلة متجانسة.

(1)- بين أي المعادلات التالية متجانسة:

dydx=x3+y33x2y

بقسمة البسط والمقام على x30

dydx=x3x3+y3x33x2yx3dydx=1+(yx)33(yx)

المعادلة متجانسة.

2xyyy2+2x2=0

بقسمة البسط والمقام على x20

2xyx2yy2x2+2x2x2=02(yx)dydx(yx)2+2=02(yx)dydx=(yx)22dydx=(yx)222(yx)

المعادلة متجانسة.

dydx=x2yx3

غير متجانسة لا يمكن كتابتها بالشكل dydx=f(yx)

طريقة حل المعادلة التفاضلية المتجانسة:

إذا كانت المعادلة التفاضلية متجانسة فإننا نتبع ما يأتي:

  1. نكتب المعادلة بالصورة [dydx=f(yx)] ثم نعوض عن كل [v=yx] أو [y=vx] حيث v دالة إلى x.
  2. نشتق y=vx بالنسبة إلى x فنحصل على [dydx=v+xdvdx].
  3. نربط بين الخطوتين (1) و(2) فنحصل على v+xdvdx=f(v)xdvdx=f(v)v
  4. بعد فصل المتغيرات نحصل dvf(v)v=dxx.
  5. نأخذ التكامل للطرفين لينتج dvf(v)v=dxx.
  6. نعوض بعد ذلك عن [yx=v] فنحصل على الحل العام بدلالة المتغيرين y,x.

(2)- حل المعادلة التفاضلية y=3y2x22xy

نقسم البسط والمقام على x20

dydx=3y2x22xy

dydx=3y2x2x2x22xyx2dydx=3(yx)212(yx)1dydx=3v212v(2)[v=yx وضعنا]y=vxdydx=v+xdvdx3

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

v+xdvdx=v+1v1xdvdx=v+1v1vxdvdx=v+1v(v1)v1xdvdx=v+1v2+vv1xdvdx=2vv2+1v1v12vv2+1dv=1xdx1xdx=v12vv2+1dv1xdx=122v+22vv2+1dv12ln|2vv2+1|+ln|c|=ln|x|ln|c[2vv2+1]12|=ln|x|ln|c2vv2+1|=ln|x|c2vv2+1=|x|c2(yx)(yx)2+1=|x||x|=c2yxy2x2+1x2=c22yxy2x2+1c2=x2+2yxy2

(3)- حل المعادلة (3xy)y=x+y

نقسم البسط والمقام على x0

dydx=x+y3xy

dydx=xx+yx3xxyxdydx=1+yx3yx(1)dydx=1+v3v(2)[v=yx وضعنا]v=yxy=vxdydx=v+xdvdx3

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

v+xdydx=1+v3vxdydx=1+v3vvxdydx=1+v3v+v23vxdydx=v22v+13vxdydx=(v1)23v1xdx=3v(v1)2dv(v3)(v1)2dv=dxx[(v1)2](v1)2dv=dxx(v1)(v1)2dv+2(v1)2dv=dxxdvv1+(2)(v1)2dv=dxxln|v1|+2(v1)11+c=ln|x|ln|v1|+2(v1)+c=ln|x|v=yxln|x|ln|yx1|2yx1+cln|x|+ln|yx1|=2yxx+cln|x(yx1)|=2xyx+cln|yx|=2xyx+c

(4)- حل المعادلة 2xyyy2+x2=0

نقسم البسط والمقام على x20

2xyy=y2x2dydx=y2x22xy

dydx=y2x2xxx22xyx2dydx=(yx)212(yx)(1)dydx=v212v(2)[v=yx وضعنا]y=vxdydx=v+xdydx(2)v+xdvdx=v212v(3)

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

xdvdx=v212vvxdvdx=v212v22vxdvdx=v212vxdvdx=(v2+1)2v2v(v2+1)dv=dxx2vv2+1dv=dxxln|v2+1|+ln|c|=ln|x|ln|v2+1|+ln|x|=ln|c|ln|x(v2+1)|=ln|c1|ln|x(v2+1)|=ln|1c|±x(v2+1)=1cc=±1x(v2+1)v=yxc=±1x(y2x2+1)c=±1x(y2+x2x2)c=±1(y2+x2x)c=±xy2+x2

(5)- جد الحد العام للمعادلة التفاضلية 2x2dydx=x2+y2

نقسم البسط والمقام على x20

dydx=x2x2+y2x22x2x2dydx=1+(yx)22..(1)dydx=1+v22.(2)[v=yxوضنعا]y=vxdydx=v+xdvx(3)v+xdvdx=1+v22xdvdx=1+v22vxdvdx=1+v22v2xdvdx=v22v+12xdvdx=(v1)222dv(v1)2=dxx2(v1)2dv=dxx2(v1)11=ln|x|+c2v1=ln|x|+c(v=yx   وضعنا)2yx1=ln|x|+c2yxx=ln|x|+c2xyx=ln|x|+cyx=2xln|x|+cy=x2xln|x|+c

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات