حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

الحل الخاص والعام للمعادلة التفاضلية الاعتيادية

إن حل المعاملة التفاضلية الاعتيادية هو علاقة بين y,x تحقق المعادلة غير أن الحل العام لأي معادلة تفاضلية هو الحل المشتمل على عدد من الثوابت الاختيارية مساوٍ لرتبة المعادلة فإذا كانت المعادلة من الرتبة الأولى وجب أن يكون حلها مشتملاً على ثابت اختياري واحد (هو ثابت التكامل) الذي يظهر عند إجراء خطوة التكامل الوحيدة لمعادلات الرتبة الأولى، أما إذا كانت المعادلة من الرتبة الثانية وجب أن يكون حلها مشتملاً على (ثابتي التكامل) نظراً لإجراء خطوتي تكامل عند حل معادلة الرتبة الثانية وهكذا بالنسبة للمعادلات التي لها رتبة أعلى.

1- أثبت أن y=xlnxx أحد حلول المعادلة xdydx=x+y , x>0

y=xlnxxdydx=x(1x)+lnx(1)1dydx=1+lnx1dydx=lnxL.H.S=xdydx=xlnxR.H.S=x+y=x+xlnxx=xlnxL.H.S=R.H.S

الدالة المعطاة هي أحد الحلول الخاصة للمعادلة التفاضلية أعلاه.

2- بين أن lny2=x+a,aR حلاً للمعادلة 2yy=0.

lny2=x+a2lny=x+a2(yy)=12y=y2yy=0

lny2=x+a هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه.

3- هل y=x3+x2 حلاً للمعادلة التفاضلية yy′′+(y)23x=5؟

y=x3+x2dydx=3x2+1d2ydx2=6x

y=x3+x2 هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه.

4- هل إن y2=3x2+x3 هو حلاً للمعادلة yy′′+(y)23x=5؟

y2=3x2+x32yy=6x+3x2[2y(y′′)+y(2)y=6+6x]÷2y(y′′)+(y)2=3+3x=L.H.Sy(y′′)+(y)23x=3R. H.S

y2=3x2+x3 لیست حل للمعادلة أعلاه.

5- برهن أن y=3cos2x+2sin2x هو حلاً للمعادلة التفاضلية y′′+4y=0.

y=3cos2x+2sin2x(1)y=3sin2x(2)+2cos2x(2)=6sin2x+4cos2xy′′=12cos2x8sin2x.(2)

بالتعويض عن (1) و (2) في الطرف الأيسر للمعادلة التفاضلية ينتج:

L.H.S=(12cos2x8sin2x)+4(3cos2x+2sin2x)=12cos2x8sin2x+12cos2x+8sin2x=0=RHS

y=3cos2x+2sin2x هي حل للمعادلة أعلاه.

6- بين أن y=e2x+e3x هو حلاً للمعادلة التفاضلية y′′+y6y=0.

y=e2x+e3xy=2e2x3e3xy′′=4e2x+9e3xL.H.S=y′′+y6y=(4e2x+9e3x)+(2e2x3e3x)6(e2x+e3x)=4e2x+9e3x+2e2x3e3x6e2x6e3x=0=RHS

y=e2x+e3x هي حل للمعادلة أعلاه.

7- هل إن المعادلة y=3e2x هي حلاً للمعادلة التفاضلية y′′+y=2y؟

y=3e2xy=3e2x(2)=6e2x    الأولى المشتقة نجدy′′=12e2x   الثانية المشتقة نجدL. H.S=y′′+y=12e2x+(6e2x)=6e2xR. H.S=2y=2(3e2x)=6e2xL. H.S = R.H.S

y=3e2x هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه.

8- هل العلاقة y=cos2xsin2x هي حلا للمعادلة التفاضلية y′′+4y=0؟

لدينا cos2x=cos2xsin2x

y=cos2xy=2sin2xy′′=2(cos2x(2))=4cos2xL.H.S.=y′′+4y=4cos2x+4cos2x=0

y=cos2xsin2x هي حل المعادلة التفاضلية أعلاه.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات