حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

مبرهنة ديموافر

Zn=(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ) , nN,θRZn=(cosθisinθ)n=cos(nθ)isin(nθ) , nN,θRZn=r1n[cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn)] , k=0,1,2,3,,n1

(1)- احسب (cos38π+isin38π)4 باستخدام مبرهنة ديموافر

(cos38π+isin38π)4=[cos128π+isin128π]=cos32π+isin32π=0i

(2)- بين لكل θR , nN فإن (cosθisinθ)n=cos(nθ)isin(nθ)

LHS=(cosθisinθ)n=(cosθ+(isinθ))n=(cosθ+isin(θ))n=[cos(θ)+isin(θ)]n(=θ)=[cos()+isin()]n=cos(n)+isin(n)=cos(nθ)+isin(nθ)=cos(nθ)isin(nθ)=RHS

ملاحظة:

قوانين مهمة في عمليات التبسيط:

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)sin(ab)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

(3)- احسب باستخدام ديموافر (1+i)11

التحويل للصيغة القطبية:

Z=1+ir=x2+y2=1+1=2cosθ=xr=12 , sinθ=yr=12

زاوية الاسناد θ=π4 تقع في الربع الأول.

Z=2(cosπ4+isinπ4)

الصيغة القطبية عندما ترفع إلى n:

Zn=rn(cosθ+isinθ)nZn=rn(cosnθ+isinnθ)

نطبق مبرهنة ديموافر:

Z11=(2)11(cosπ4+isinπ4)Z11=(2)11(cos11π4+isin11π4)=(2)102(cos11π4+isin11π4)Z11=[2(12)]102(cos11π4+isin11π4)=252(cos11π4+isin11π4)

114=2 زوجي دائماً والباقي 3 لذلك تكون الزاوية الجديدة باقي π4 وهي 3π4

3×45=135 تقع في الربع الثاني، وتكون الزاوية كما يلي نقوم بحذف الباقي وأخذ π4 أو نحسبها كالآتي: π3π4=π4

cosπ4=12 ,sinπ4=12Z11=322(cosπ4+isinπ4)Z11=322(12+i12)Z11=3222+i3222Z11=(32+32i)=32(1+i)

ملاحظة: لا يمكن التعامل مع أي زاوية إلا إذا كانت بالقياس الرئيسي أي أنها تقع في الفترة 0θ2π إذا كانت الزاوية أكبر من 2π نطرح منها دورة كاملة وهي 2π وأحياناً نطرح دورتين يعني 4π أو ثلاث دورات يعني 6π حتى نصل إلى زاوية ذات قياس رئيسي أي زاوية تقع في الفترة 0θ2π.

ملاحظة: إذا كان الأس سالب فإن:

Zn=(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)=cosnθisinnθZn=cosnθisinnθ

(4)- احسب باستخدام مبرهنة ديموافر 1(13i)4

1(13i)4=(13i)4

نستخرج الصيغة القطبية:

r=x2+y2=(1)2+(3)2=1+3=4=2

تقع في الربع الرابع:

cos=12 , sin=322ππ3=6ππ3=5π3

الصيغة القطبية:

Z=2(cos5π3+isin5π3)

نطبق قانون مبرهنة ديموافر:

Z4=[2(cos5π3+isin5π3)]4Z4=(2)4(cos5π3+isin5π3)4Z4=(2)4(cos45π3isin45π3)Z4=(2)4(cos20π3isin20π3)

114=2 زوجي دائماً والباقي 2 لذلك تكون الزاوية الجديدة باقي π3 وهي 2π3

2×60=120 تقع في الربع الثاني، وتكون الزاوية كما يلي نقوم بحذف الباقي وأخذ π2 أو نحسبها كالآتي: π2π3=π3

Z4=(2)4(cos2π3isin2π3)cosπ3=12,sinπ3=32Z4=124(cos2π3isin2π3)Z4=116(1232i)Z4=116(1232i)=132332i

ملاحظة: إذا Z1,Z2 بالصيغة القطبية فإن حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب مقياسهما في حاصل جمع سعتيهما.

(5)- احسب Z1,Z2 إذا كان:

Z1=2(cos2π3+isin2π3)Z2=3(cosπ3+isinπ3)

Z1Z2=3×2[cos(2π3+π3)+isin(2π3+π3)]Z1Z2=6(cosπ+isinπ)=6(1+0)=6

ملاحظة: حاصل قسمة عددين مركبين:

Z1=r1(cosθ1+isinθ1)Z2=r2(cosθ2+isinθ1)z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]

حيث أن حاصل قسمة عددين مركبين = حاصل قسمة المقياس الأول على المقياس الثاني مضروب بحاصل طرح سعتيهما (سعة الأول - سعة الثاني).

(6)- إذا كان:

Z1=4(cos5π2+isin5π2)Z2=(cos5π4+isin5π4)

فجد z1z2

z1z2=4(cos5π4+isin5π4)(cos5π2+isin5π2)z1z2=4[cos(5π45π2)+isin(5π45π2)]Z1Z2=4[cos(5π4)+isin(5π4)]Z1Z2=4(cos5π4isin5π4)

(7)- جد ما يأتي: (cos2θ+isin2θ)(cos3θ+isin3θ)

(cos2θ+isin2θ)(cos3θ+isin3θ)=cos(2θ3θ)+isin(2θ3θ)=cos(θ)+isin(θ)=cosθisinθ

(8)- حل المعادلة x3+1=0 حيث x

x3+1=0x3=1x3=1+0ir=x2+y2=1+0=1cosθ=xr=11=1 , sinθ=yr=01=0

زاوية الاسناد θ=π

بالجذر التكعيبي:

x3=cosπ+isinπx=(cosπ+isinπ)13

xn=r1n[cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn)]x=[cos(π+2kπ3)+isin(π+2kπ3)]k=0,1,2k=0x1=(cosπ3+isinπ3)=12+32ik=1x2=(cosπ+2π3+isinπ+2π3)=(cos3π3+isin3π3)=(cosπ+isinπ)k=2x2=1+(0)i=1x3=(cosπ+4π3+isinπ+4π3)=(cos5π3+isin5π3)=1232ik=2

مجموعة الحل {12+32i,1,1232i}

(9)- أوجد الصيغة القطبية للمقدار (3+i)2 ثم جد الجذور الخمسة له:

Z=3+ir=x2+y2=3+1=4=2cosθ=xr=32 , sinθ=yr=12

زاوية الاسناد θ=π6 تقع في الربع الأول.

الصيغة القطبية:

Z=2(cosπ6+isinπ6)Z2=(2)2(cosπ6+isinπ6)2Z2=4(cos2π6+isin2π6=4(cosπ3+isinπ3)=4(12+32i)=2+23i(Z2)15=415(cosπ3+isinπ3)15

Zn=r1n[cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn)]z25=45(cosπ+6kπ35+isinπ+6kπ35)z25=45(cosπ+6kπ15+isinπ+6kπ15) , k=0,1,2,3,4Z1=45(cosπ15+isinπ15)Z2=45(cos7π15+isin7π15)k=1Z3=45(cos13π15+isin13π15)k=2Z4=45(cos19π15+isin19π15)k=3Z5=45(cos5π3+isin5π3)k=4

(10)- جد باستخدام مبرهنة ديموافر (sinπ3+icosπ3)10

(sinπ3+icosπ3)10=(i2sinπ3+icosπ3)10=(i(isinπ3+cosπ3))10(i10)(cosπ3isinπ3)10=(cos10π3isin10π3)=(cos4π3isin4π3)=(cosπ3+isinπ3)=(12+i32)=12i32

ملاحظة:

  • يمكن حلها بتحويل داخل القوس إلى عدد مركب (صيغة جبرية) ثم تحويلها إلى الصيغة القطبية ثم تطبيق مبرهنة ديموافر.
  • ويمكن استخدام القانون الذي يمكن تحويل الـ cosθ=sin(π2θ) , sinθ=cos(π2θ) لتتحول إلى الصيغة القطبية.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات