حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

حل المعادلات التربيعية في C

كل معادلة تربيعي لا يمكن حلها بطريقة التجربة فهي تحل بطريقة الدستور فمثلاً:

ax2+bx+c=0

حيث a,b,cR , a0 فإن x=b±b24ac2a ونلاحظ أنه إذا كان مقدار المميز (b24ac) سالباً فإن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلة تنتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة ويوجد نوعان من حل المعادلات التربيعية.

النوع الأول: المميز لا يحتوي على (i)

(1)- حل المعادلة التربيعية x2+4x+5=0 في مجموعة الأعداد المركبة.

حسب قانون الدستور فإن a=1 , b=4 , c=5

x=b±b24ac2ax=4±164(1)(5)2(1)=4±16202=4±42=4±4(1)2x=4±4i22=4±2i2x=2±i

مجموعة الحل {2i,2+i}

ملاحظة: من قانون الدستور نعلم أن جذري المعادلة التربيعية ax2+bx+c=0 التي معاملاتها الحقيقية هي:

x1=b+b24ac2a , x2=bb24ac2a

مجموع الجذرين:

x1+x2=2b2ax1+x2=ba

حاصل ضرب الجذرين:

x1x2=4ac4a2=cax1x2=ca

ويمكن الاستفادة من الخاصية أعلاه في إيجاد الجذور التربيعية وكما يلي:

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x2

(2)- جد المعادلة التربيعية التي جذراها ±(2+2i)

نتبع صيغة المعادلة أعلاه في التطبيق.

مجموع الجذرين:

(2+2i)+(22i)=(22)+(22)i=0+0i

ضرب الجذرين:

(2+2i)(22i)=44i4i4i2=48i+4=8i

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x2

x2(0)x+(8i)=0x28i=0

ملاحظة: عندما يعطى في السؤال كون المعادلة التربيعية التي (معاملاتها حقيقية) وأحد جذريها مثلاً abi فسيكون الجذر الثاني مرافق الجذر الأول a+bi.

(3)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية أو أحد جذريها 34i

بما أن معاملات المعادلة حقيقة وأحد الجذرين 34i فإن الجذر الآخر هو المرافق ويساوي 3+4i.

مجموع الجذرين:

(34i)+(3+4i)=(3+3)+(4+4)i=6

ضرب الجذرين:

(3+4i)(34i)=912i+12i16i2=9+16=25

طريقة أخرى في الحل:

في مثل هذه الأسئلة نعتمد على قواعد المرافق للعدد المركب وكما يأتي:

C.C¯=a2+b2 , C+C¯=2a

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x2

x26x+25=0

(4)- جد مجموعة الحل للمعادلة x4+10x2+9=0

ملاحظة: لا يحل السؤال التالي x4+10x2+9=0 بالتجربة إذا أصبح بهذه الصورة x4+10x29i2=0 لأن الحد الوسط لا يحتوي على (i)، لذلك نقوم بحله مباشرة بطريقة التجربة.

والناتج من عملية التجربة نستخدم معه الطريقة السابقة وهي إضافة i2 لغرض تحليل الأقواس الناتجة من التجربة.

x4+10x2+9=0(x2+9)(x2+1)=0(x29i2)(x2i2)=0(x+3i)(x3i)(x+i)(xi)=0

إما:

x+3i=0x=3i

أو:

x3i=0x=3i

x+i=0x=ixi=0x=i

مجموعة الحل {3i,3i,i,i}

(5)- جد مجموعة الحل للمعادلة x26x+13=0

في مثل هذه الأنواع من المعادلات التي لا تتحلل بأي نوع من التحاليل لذا نستخدم (طريقة الدستور).

x=b±b24ac2a

حيث a=1 , b=6 , c=13 تعوض في قانون الدستور.

x=6±36(4)(1)(13)2(1)x=6±36522x=6±162x=62±4i2x=3±2i

مجموعة الحل للمعادلة في C جذران مترافقان {3+2i,32i}

(6)- جد مجموعة حل المعادلة x2+4x+5=0

x=b±b24ac2a

حيث a=1 , b=4 , c=5 تعوض في قانون الدستور.

x=4±16(4)(1)(5)2(1)=4±16202=4±42=4±2i2=2±ix=2i , x=2+i

مجموعة الحل {2i,2+i}

(7)- جد مجموعة حل المعادلة x38i=0

i=i3

x3+8i3=0(x+2i)(x22ix4)=0

إما:

(x+2i)=0x=2i

أو:

(x22ix4)=0  a=1 , b=2i , c=4

x=b±b24ac2ax=2i±4(4)(4)2(1)x=2i±4+162x=2i±122x=2i±232=2i2±232

إما:

x=i+3

أو:

x=i-3

مجموعة الحل {3+i,3+i,2i}

ملاحظة: إذا علمت من المعادلة جذراها أي (جد المعادلة التربيعية إذا علم جذراها) هذه الحالة هي عكس الأمثلة السابقة يعني الجذور معطاة والمطلوب حل المعادلة.

(8)- جد المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذريها النظير الضربي للعدد المركب 105i2+i

نستخرج النظير الضربي للعدد 105i2+i هو 2+i105i

ويستخدم في الحل الضرب بالمرافق للمقام 2+i105i×10+5i10+5i

=20+10i+10i+5i2(10)2+(10)2=(205)+(10+10)i100+25=15+20i125=15125+20125i

الجذر الأول (325+425i)

الجذر الثاني (المرافق) (325-425i)

جمع الجذرين:

325+425i+325425i=625

ضرب الجذرين:

(325+425i)(325425i)=(325)2+(425)2=9625+16625=25625=125

x2625x+125=025x26x+1=0

ملاحظة: سنضرب الكسر في المرافق لنتخلص من المقام وبعدها يكون لدينا عدد مركب نفتح التربيع ويبسط ونجعله عدد مركب واحد، فمثلاً إذا كان لدينا الكسر الآتي (2+5i3+2i)2.

(9)- 2x2+ax+b=0 هي المعادلة التربيعية التي أحد جذريها 3+i جد قيمة a,b التي تنتمي إلى R

لم يذكر معاملات حقيقية هنا وعوض عنها بأنها تنتمي إلى R لذلك أحد جذريها 3+i إذن الجذر الآخر 3-i أي (المرافق).

x2ax+b=0

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x2

جمع الجذرين:

3+i+3i=6

ضرب الجذرين:

(3+i)(3i)=9+1=10

المعادلة الأصلية فيها 2 معامل x2 لذلك نضرب كل من مجموع الجذرين وحاصل ضربهما في 2 لأن المعادلة الأصلية هي: 2x2+ax+b=0

2×6=122×10=202x212x+20=0a=12 , b=20

النوع الثاني: المميز يحتوي على (i)

(10)- جد مجموعة حل المعادلة z23z+3+i=0

a=1 , b=3 , c=(3+i)x=b±b24ac2az=3±94(1)(3+i)2=3±9124i2z=3±34i2(1)

بتربيع الطرفين:

[34i=a+bi]34i=(a+bi)234i=(a2b2)+2abia2b2=3..(2)2ab=4b=42ab=2a.(3)

نعوض في معادلة (2)

a24a2=3]×a2a44=3a2a4+3a24=0(a2+4)(a21)=0

إما:

a2+4=0a2=4 تهمل.

أو:

a21=0a2=1a=±1

نعوض في معادلة (3)

b=21=2a=1b=21=2a=1

12i , 1+2i

إما:

z=3+12i2=42i2=2i

أو:

z=31+2i2=2+2i2=1+i

مجموعة الحل {2i,1+i} والجذران غير مترافقان.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات