أمثلة إضافية محلولة

(1)- أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب $-55-48i$ ثم استخدم الناتج في إيجاد الحل للمعادلة التالية: $x^2+(1+2i)x+13(1+i)=0$

نفرض أن الجذر التربيعي للعدد $-55-48i$ هو $a+bi$

$a+bi=\sqrt{-55-48i}$

بتربيع الطرفين:

$$\begin{gathered} (a+bi{)}^2=-55-48i \\ \begin{array}{rl}& a^2+2abi+b^2{i}^2=-55-48i\Rightarrow (a^2-b^2)+\left(2ab\right)i=-55-48i\\ & a^2-b^2=-55\dots \dots \dots \left(1\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2ab=-48\Rightarrow a=\frac{-48}{2b}\Rightarrow a=\frac{-24}{b}\\ & b^4-55b^2-576=0\Rightarrow (b^2-64)(b^2+9)=0\end{array} \end{gathered}$$

إما:

$b^2=64⟹b=\pm 8$

نعوض في معادلة (2)

$a=\frac{-24}{b}\Rightarrow a=\frac{-24}{\pm 8}\Rightarrow a=\mp 3$

أو:

$b^2+9=0\Rightarrow b^2=-9$ تهمل.

الجذران هما $3-8i , -3+8i$

الآن نحل المعادلة $x^2+(1+2i)x+13(1+i)=0$ باستخدام قانون الدستور حيث:

$a=1 , b=(1+2i) , c=13(1+i)$

$\begin{array}{rl}& x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-(1+2i)\pm \sqrt{(1+2i{)}^2-(4\left)\right(1\left)\right(13+13i)}}{2\left(1\right)}\\ & x=\frac{-(1+2i)\pm \sqrt{1+4i+4i^2-(52+52i)}}{2\left(1\right)}\\ & x=\frac{-(1+2i)\pm \sqrt{1+4i-4-(52+52i)}}{2}=\frac{-(1+2i)\pm \sqrt{-55-48i}}{2}\end{array}$

إما:

$x_1=\frac{-1-2i+3-8i}{2}=\frac{2-10i}{2}=1-5i$

أو:

$x_2=\frac{-1-2i-3+8i}{2}=\frac{-4+6i}{2}=-2+3i$

مجموعة الحل $\{-2+3i,1-5i\}$

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها $\frac{10}{3-i} , 3-i$

$\begin{array}{rl}& x_1=3-i\\ & x_2=\frac{10}{3-i}=\frac{10}{3-i}\times \frac{3+i}{3+i}=\frac{10(3+i)}{3^2+1^2}=\frac{10(3+i)}{10}=3+i\end{array}$

مجموع الجذرين:

$(3-i)+(3+i)=(3+3)+(-1+1)i=6$

ضرب الجذرين:

$(3-i)(3+i)=9+3i-3i-i^2=9+1=10$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$\therefore x^2-6x+10=0$}

(3)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $-8i$

$\begin{array}{rl}& x^3=-8i\Rightarrow x^3+8i=0\Rightarrow x^3-8i\left(i^2\right)=0\Rightarrow x^3-8i^3=0\\ & x^3-8i^3=0\Rightarrow (x-2i)(x^2+2xi+4i^2)=0\Rightarrow (x-2i)(x^2+2xi-4)=0\end{array}$

إما:

$x-2i=0\Rightarrow x=2i$

أو:

$$\begin{gathered} x^2+2ix-4=0\stackrel{}{⟹}a=1 , b=2i , c=-4 \\ \begin{array}{rl}& x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2i\pm \sqrt{4i^2-4\left(1\right)(-4)}}{2\left(1\right)}=\frac{-2i\pm \sqrt{-4+16}}{2}\\ & x=\frac{-2i\pm \sqrt{12}}{2}\Rightarrow x=\frac{-2i\pm 2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=-i\pm \sqrt{3}\end{array} \end{gathered}$$

مجموعة الحل $\{2i,-i+\sqrt{3},-i-\sqrt{3}\}$

(4)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $8$

$x^3=8\Rightarrow x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)=0$

إما:

$(x-2)=0\Rightarrow x=2$

أو:

$$\begin{gathered} x^2+2x+4=0\stackrel{}{⟹}a=1 , b=2 , c=4 \\ \begin{array}{rl}& x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\left(1\right)\left(4\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{-2\pm \sqrt{4-16}}{2}\\ & x=\frac{-2\pm \sqrt{-12}}{2}\Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{12i^2}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}i}{2}=-1\pm \sqrt{3}i\end{array} \end{gathered}$$

مجموعة الحل $\{2,-1+\sqrt{3}i,-1-\sqrt{3}i\}$

(5)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية $i{x}^2-2x-2i=0$

نقسم المعادلة على i

$\begin{array}{rl}& i{x}^2-2x-2i=0\\ & \frac{i{x}^2}{i}-\frac{2x}{i}-\frac{2i}{i}=0\Rightarrow x^2-\frac{2i^4}{i}x-2=0\Rightarrow x^2-2i^{3}x-2=0\\ & x^2+2ix-2=0\stackrel{}{⟹}a=1 , b=2i , c=-2\\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2i\pm \sqrt{(2i{)}^2-4(1\left)\right(-2)}}{2\left(1\right)}\\ & x=\frac{-2i\pm \sqrt{-4+8}}{2}=\frac{-2i\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{-2i\pm 2}{2}=-i\pm 1\end{array}$

مجموعة الحل $\{-i+1,-i-1\}$

(6)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالية $x^2-4\sin \theta x+4=0$

$\begin{array}{rl}& x^2-4\sin \theta x+4=0\Rightarrow a=1 , b=-4\sin \theta , c=4\\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-4\sin \theta )\pm \sqrt{(-4\sin \theta {)}^2-4(1\left)\right(4)}}{2\left(1\right)}\\ & x=\frac{4\sin \theta \pm \sqrt{16(\sin \theta {)}^2-16}}{2}=\frac{4\sin \theta \pm \sqrt{16\left[\right(\sin \theta {)}^2-1]}}{2}\\ & x=\frac{4\sin \theta \pm \sqrt{16[-(\cos \theta {)}^2]}}{2}=\frac{4\sin \theta \pm \sqrt{16\left[\right(\cos \theta {)}^2{i}^2]}}{2}\\ & x=\frac{4\sin \theta \pm 4\cos \theta i}{2}=2\sin \theta \pm 2\cos \theta i\end{array}$

مجموعة الحل $\{2\sin \theta +2\cos \theta i,2\sin \theta -2\cos \theta i\}$

(7)- أوجد قيمة كل من $x,y$ من المعادلة التالية $(x+yi{)}^2-\frac{8-8i}{1+i}+15=0$

$\begin{array}{rl}& (x+yi{)}^2-\frac{8-8i}{1+i}+15=0\Rightarrow x^2+2xyi+y^2{i}^2=\frac{8-8i}{1+i}-15\\ & (x^2-y^2)+2xyi=(\frac{8-8i}{1+i}\times \frac{1-i}{1-i})-15\\ & (x^2-y^2)+2xyi=\left(\frac{8-8i-8i+8i^2}{1^2+1^2}\right)-15\\ & (x^2-y^2)+2xyi=\left(\frac{-16i}{2}\right)-15\Rightarrow (x^2-y^2)+2xyi=-8i-15\\ & x^2-y^2=-15\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & 2xy=-8\Rightarrow x=\frac{-8}{2y}\Rightarrow x=\frac{-4}{y}\dots \dots ..\left(2\right)\\ & {\left(\frac{-4}{y}\right)}^2-y^2=-15\Rightarrow \frac{16}{y^2}-y^2=-15\stackrel{y^2\times }{⟹}16-y^4=-15y^2\\ & y^4-15y^2-16=0\Rightarrow (y^2-16)(y^2+1)=0\end{array}$

إما:

$\begin{array}{rl}& y^2-16=0\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm 4\\ & x=\frac{-4}{y}=\frac{-4}{\pm 4}\Rightarrow x=\mp 1\end{array}$

أو:

$y^2+1=0\Rightarrow y^2=-1$ تهمل.

(8)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذراها $(\sqrt{2}-i{)}^2$

الجذر الأول $(\sqrt{2}-i{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2-2\sqrt{2}i+i^2=1-2\sqrt{2}i$

المعاملات حقيقية لذا فإن الجذر الآخر هو المرافق $1+2\sqrt{2}i$

المجموع:

$(1-2\sqrt{2}i)+(1+2\sqrt{2}i)=(1+1)+(-2\sqrt{2}i+2\sqrt{2}i)=2$

الضرب:

$(1-2\sqrt{2}i)(1+2\sqrt{2}i)=1+2\sqrt{2}i-2\sqrt{2}i-(2\sqrt{2}i{)}^2=1+8=9$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$\therefore x^2-2x+9=0$}