تدرب وحل التمرينات

(1)- اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل المسائل الآتية:

يجب أن تبقى درجة الحرارة داخل الثلاجة $8^{\circ }$ سيليزية بزيادة أو نقصان لا يتجاوز $0.5^{\circ }$ سيليزية. اكتب مدى درجة الحرارة المثالية في داخل الثلاجة.

نفرض درجة الحرارة المثالية هي x

$\begin{array}{rl}& x\le 8+0.5 و x\ge 8-0.5\\ & x-8\le 0.5 و x-8\ge -0.5\Rightarrow -0.5\le x-8\le 0.5\\ & |x-8|\le 0.5\end{array}$

درجة غليان الماء ${100}^{\circ }$ سيليزية عند مستوى سطح البحر وتزداد وتنقص في المناطق الجبلية والوديان بما لا يتجاوز ${20}^{\circ }$ سيليزية، اكتب مدى التذبذب في درجة غليان الماء.

نفرض درجة غليان الماء x

$\begin{array}{rl}& x\le 100+20 \mathrm{أو} x\ge 100-20\\ & x-100\le 20 \mathrm{أو} x-100\ge -20\\ & -20\le x-100\le 20\\ & |x-100|\le 20\end{array}$

(2)- حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

$|x+3|<6$

$\begin{array}{rl}& -6<x+3<6\Rightarrow -6-3<x<6-3\\ & -9<x<3\Rightarrow S=\{x:-9<x<3\}\end{array}$

$\left|x\right|-6<5$

$\begin{array}{rl}& \left|x\right|<5+6\Rightarrow \left|x\right|<11\\ & -11<x<11\Rightarrow S=\{x:-11<x<11\}\end{array}$

$\left|2z\right|-5<2$

$\begin{array}{rl}& \left|2z\right|<2+5\Rightarrow \left|2z\right|<7\Rightarrow -7<2z<7\\ & \frac{-7}{2}<\frac{2z}{2}<\frac{7}{2}\Rightarrow \frac{-7}{2}<z<\frac{7}{2}\Rightarrow S=\{z:\frac{-7}{2}<z<\frac{7}{2}\}\end{array}$

$|y-3|\ge \frac{1}{3}$

$\begin{array}{rl}& y-3\ge \frac{1}{3} \mathrm{أو} y-3\le -\frac{1}{3}]\times 3\\ & 3(y-3)\ge \frac{1}{3}\times 3 \mathrm{أو} 3(y-3)\le -\frac{1}{3}\times 3\\ & 3y-9\ge 1 \mathrm{أو} 3y-9\le -1\\ & 3y\ge 1+9 \mathrm{أو} 3y\le -1+9\\ & 3y\ge 10 \mathrm{أو} 3y\le 8\\ & \frac{3y}{3}\ge \frac{10}{3} \mathrm{أو} \frac{3y}{3}\le \frac{8}{3}\Rightarrow y\ge \frac{10}{3}\mathrm{أو}y\le \frac{8}{3}\\ & S=S_1\cup S_2=\{y:y\ge \frac{10}{3}\}\cup \{y:y\le \frac{8}{3}\}\end{array}$

$2\left|x\right|-7\ge 1$

$\begin{array}{rl}& 2\left|x\right|-7\ge 1\Rightarrow 2\left|x\right|\ge 1+7\Rightarrow 2\left|x\right|\ge 8]÷2\\ & \left|x\right|\ge 4\Rightarrow x\ge 4 \mathrm{أو} x\le -4\\ & S=S_1\cup S_2=\{x:x\ge 4\}\cup \{x:x\le -4\}\end{array}$

$\left|9y\right|-6>3$

$\begin{array}{rl}& \left|9y\right|-6>3\Rightarrow \left|9y\right|>3+6\Rightarrow \left|9y\right|>9\\ & 9y>9 \mathrm{أو} 9y<-9\Rightarrow \frac{9y}{9}>\frac{9}{9} \mathrm{أو} \frac{9y}{9}<\frac{-9}{9}\\ & y>1 \mathrm{أو} y<-1\\ & S=S_1\cup S_2=\{y:y>1\}\cup \{y:y<-1\}\end{array}$

$\left|11z\right|-2\ge 9$

$\begin{array}{rl}\left|11Z\right|-2\ge 9& \Rightarrow \left|11Z\right|\ge 11\Rightarrow \left|Z\right|\ge 1\\ & ⟹Z\le -1 \mathrm{أو} Z\ge 1\\ & ⟹S=\{Z:Z\le -1\}\cup \{Z:Z\ge 1\}\end{array}$

$|1-x|<1$

$\begin{array}{rl}& -1<1-x<1\Rightarrow -1-1<-x<1-1\Rightarrow -2<-x<0]\times -1\\ & 2>x>0\Rightarrow 0<x<2\\ & S=\{x:0<x<2\}\end{array}$

$|\frac{4}{5}z-1|>\frac{4}{5}$

$\begin{array}{rl}& \frac{4}{5}z-1>\frac{4}{5} \mathrm{أو} \frac{4}{5}z-1<-\frac{4}{5}]\times 5\\ & \frac{4}{5}z\times 5-1\times 5>\frac{4}{5}\times 5 \mathrm{أو} \frac{4}{5}z\times 5-1\times 5<-\frac{4}{5}\times 5\\ & 4z-5>4 \mathrm{أو} 4z-5<-4\Rightarrow 4z>4+5 \mathrm{أو} 4z<-4+5\\ & 4z>9 \mathrm{أو} 4z<1\Rightarrow \frac{4z}{4}>\frac{9}{4} \mathrm{أو} \frac{4z}{4}<\frac{1}{4}\Rightarrow z>\frac{9}{4} \mathrm{أو} z<\frac{1}{4}\\ & S=S_1\cup S_2=\{z:z>\frac{9}{4}\}\cup \{z:z<\frac{1}{4}\}\end{array}$

$\left|\frac{z-1}{7}\right|\le 2$

$\begin{array}{rl}& -2\le \frac{z-1}{7}\le 2]\times 7\\ & -2\times 7\le \frac{z-1}{7}\times 7\le 2\times 7\\ & -14\le z-1\le 14\Rightarrow -14+1\le z\le 14+1\\ & -13\le z\le 15\Rightarrow S=\{z:-13\le z\le 15\}\end{array}$

(3)- اكتب متباينة تتضمن قيمة مطلقة لكل من التمثيلات البيانية الآتية:

الرسم البياني يمثل تقاطع والفجوة فارغة

المتباينة $-6<x<2$

نجد معدل القيمتين أي أن: $\frac{-6+2}{2}=\frac{-4}{2}=-2$ ثم نطرح (2-) من جميع المتباينة:

$\begin{array}{ll}-6<x<2& \Rightarrow -6-(-2)<x-(-2)<2-(-2)\\ -4<x+2<4& \Rightarrow |x+2|<4\end{array}$

مجموعة الحل متصلة لذا فهي تمثل مجموعة تقاطع مجموعتين أي متباينة مركبة بعلاقة "و"

الآن نبحث عن نقطة منتصف مجموعة الحل وهي (1-) ثم نحسب نصف قطر مجموعة الحل وهو $\frac{2-(-4)}{2}=3$

وعليه نحاول إيجاد متباينة طرفاهما هما العددان 3 و3- كالآتي:

$\begin{array}{rl}-4<\mathrm{x}<2& ⟹-4+1<\mathrm{x}+1<2+1⟹-3<\mathrm{x}+1<3\\ & ⟹|x+1|\le 3\end{array}$

الرسم البياني يمثل اتحاد (أو)

$x>-2 \mathrm{أو} x<4$

نجد معدل القيمتين أي أن: $\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$ ثم نطرح (2-) من جميع المتباينة:

$\begin{array}{rl}& x>-2 \mathrm{أو} x<4\Rightarrow x-1>-2-1 \mathrm{أو} x-1<4-1\\ & x-1>-3 \mathrm{أو} x-1<3\Rightarrow |x-1|>3\end{array}$

مجموعة الحل اتحاد مجموعتين لذا فهي متباينة مركبة بعلاقة "أو"

$\{x\le -4\}\cup \{x\ge -2\}$

الآن نجد نصف قطر المسافة بين العددين 2- و4- وهو العدد $\frac{-2-(-4)}{2}=1$

$⟹x\le -4 \mathrm{أو} x\ge -2$

والآن نحاول إيجاد متباينة طرفاها العددان 1 و1-

$⟹x+3\le -1 \mathrm{أو} x+3\ge 1$

المتباينة المركبة هي:

$⟹|x+3|\ge 1$