تدرب وحل التمرينات

(1)- إذا كان $B=\{4,5,6\},A=\{1,2,3\}$ وإن $f:A\to B$ معرف كالآتي:

$f=\left\{\right(1,4),(2,5),(3,6\left)\right\}$، ارسم المخطط السهمي للتطبيق ومثله بالمستوي الإحداثي.

$\{4,5,6\}=\mathrm{المدى}$

• التطبيق شامل لأن المدى = المجال المقابل.
• التطبيق متباين لأن $f\left(1\right)\ne f\left(2\right)$ التطبيق تقابل.

(2)- إذا كان $f:A\to Z$ حيث $f\left(x\right)=x^2$ والمجموعة $A=\{-2,-1,0,1,2\}$، مثل التطبيق في المستوي الإحداثي وبين هل أنه تطبيق متباين أم لا؟

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^2 , A=\{-2,-1,0,1,2\}\\ & f(-2)=(-2{)}^2=4\\ & f(-1)=(-1{)}^2=1\\ & f\left(0\right)=(0{)}^2=0\\ & f\left(1\right)=(1{)}^2=1\\ & f\left(2\right)=(2{)}^2=4\\ & f=\left\{\right(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4\left)\right\}\end{array}$

التطبيق ليس متباين لأن $f\left(1\right)=f(-1)$ بينما $1\ne -1$

(3)- ليكن $f:N\to N$ إذ إن $g\left(x\right)=x+1$ إذ $g\left(x\right)=x+1$. والمطلوب إيجاد:

$(g\circ f)\left(x\right),(f\circ g)\left(x\right)$

$$\begin{gathered} (g\circ f)\left(x\right) \\ \begin{array}{rl}& g\left(x\right)=\underset{\uparrow }{x+1}\\ & f\left(x\right)=\overbrace{x^2}\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (g\circ f)\left(x\right)=x^2+1 \\ \begin{array}{rl}& g\left(x\right)=\underset{\uparrow }{x^2}\\ & f\left(x\right)=\overbrace{x+1}\end{array} \end{gathered}$$

$(f\circ g)\left(x\right)=(x+1{)}^2=x^2+2x+1$

$(f\circ g)\left(2\right),(g\circ f)\left(2\right)$

$\begin{array}{rl}& (f\circ g)\left(2\right)=(x+1{)}^2=(2+1{)}^2=(3{)}^2=9\\ & (g\circ f)\left(2\right)=x^2+1=2^2+1=4+1=5\end{array}$