تمارين (1-4)

أولاً:

(1)- جد ميل المستقيم المار بالنقطتين (2,0)، (2,0-)

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-0}{2+2}=0$

المستقيم//محور السينات.

(2)- إذا كانت $a(2,3),b(w,-3)$، فجد قيمة w بحيث ميل $\frac{1}{2}=\overleftrightarrow{ab}$

$\begin{array}{rl}& m_{ab}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{-3-3}{w-2}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{-6}{w-2}\\ & \therefore w-2=-12\Rightarrow w=-10\end{array}$

ثانياً: لكل فقرة مما يأتي أربع إجابات واحدة فقط صحيحة حدد الإجابة الصحيحة:

(1)- إذا كان $\overleftrightarrow{\mathrm{M}},\overleftrightarrow{\mathrm{L}}\perp \overleftrightarrow{\mathrm{M}}$ يمر بالنقطتين $(3,2),(5,1)$ فإن ميل $...=\overleftrightarrow{\mathrm{L}}$

ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{M}}$

$\begin{array}{rl}& m_{\overrightarrow{M}}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1-2}{5-3}=\frac{-1}{2}\\ & m_{\overrightarrow{L}}=\frac{-1}{m_{\overrightarrow{M}}}=\frac{-1}{-\frac{1}{2}}\\ & \therefore m_{\overrightarrow{L}}=2\end{array}$

(2)- إذا كان $\overleftrightarrow{\mathrm{M}},\overleftrightarrow{\mathrm{L}}//\overleftrightarrow{\mathrm{M}}$ يمر بالنقطتين $(-2,3),(2,-3)$ فإن ميل $...=\overleftrightarrow{\mathrm{L}}$

ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{M}}$

$$\begin{gathered} m_M=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2+2}=\frac{-6}{4}=\frac{-3}{2} \\ \therefore m_L=\frac{-3}{2} \end{gathered}$$

لأن المستقيمان متوازيان.

ثالثاً:

(1)- بين المستقيم L المار بالنقطتين $(-1,3)(1,6)$ يوازي المستقيم M المار بالنقطتين $(-2,-4),(0,-1)$

$\begin{array}{rl}& m_L=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-3}{1+1}=\frac{3}{2}\\ & m_m=\frac{-4+1}{-2-0}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}\\ & m_L=m_m\Rightarrow \overleftrightarrow{L}//\overleftrightarrow{M}\end{array}$

(2)- بين المستقيم L المار بالنقطتين $(0,5),(2,0)$ عمودي على المستقيم M المار بالنقطتين $(1,-1),(6,1)$

ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{L}}$

$m_L=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-5}{2-0}=-\frac{5}{2}$

ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{M}}$

$m_m=\frac{1+1}{6-1}=\frac{2}{5}$

$\therefore m_{\mathrm{L}}\times m_m=\frac{-5}{2}\times \frac{2}{5}=-1\Rightarrow \overleftrightarrow{M}\perp \overleftrightarrow{\mathrm{L}}$

رابعاً:

(1)ـ جد معادلة المستقيم الذي ميله = $\frac{1}{2}$ ويمر بالنقطة (4-,0)

$\begin{array}{rl}& y-y_1=m(x-x_1)\\ & y-(-4)=\frac{1}{2}(x-0) \left(2 \mathrm{في} \mathrm{الطرفين} \mathrm{بضرب}\right)\\ & 2y+8=x\\ & x-2y-8=0\end{array}$

(2)- جد معادلة المستقيم الموازي لمحور السينات ويمر بالنقطة (1-,2).

ميل المستقيم الموازي لمحور السينات = 0

$\therefore y-y_1=0\Rightarrow y-(-1)=0\Rightarrow y+1=0 \mathrm{المعادلة}$

(3)- جد معادلة المستقيم الموازي لمحور الصادات ويمر بالنقطة (1-,2).

لا يوجد ميل لأن المستقيم // محور الصادات.

$\therefore x=x_1\Rightarrow x=2\Rightarrow x-2=0 \mathrm{المعادلة}$

(4)- جد المعادلة المستقيم المار بالنقطتين (1,3-)، (1,5-)

معادلة المستقيم المار بنقطتين $\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$\begin{array}{rl}& \frac{y-5}{x+1}=\frac{3-5}{-1+1}\\ & \frac{y-5}{x+1}=\frac{-2}{0} \mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\end{array}$

معادلة المستقيم // محور الصادات $x+1=0$

(5)- جد معادلة المستقيم L المار بالنقطة (1-,2) والموازي للمستقيم الذي ميله = $\frac{2}{3}$

ميل المستقيم المعلوم = $\Leftarrow \frac{2}{3}$ ميل المستقيم $\frac{2}{3}=L$ لأنهما متوازيان

$\begin{array}{rl}& y-y_1=m(x-x_1)\\ & y+1=\frac{2}{3}(x-2)\\ & 3y+3=2x-4 3 \left(3 \mathrm{في} \mathrm{المعادلة} \mathrm{طرفي} \mathrm{بضرب}\right)\\ & \therefore 2x-3y-7=0 \left(L \mathrm{المستقيم} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(6)- جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (2-,0) عمودياً على المستقيم الذي ميله = $\frac{-3}{5}$

بما أن المستقيمان متعامدان

$m\left(\mathrm{المطلوب} \mathrm{المستقيم}\right)=-\frac{1}{m\left(\mathrm{المعلوم} \mathrm{المستقيم}\right)}$

$\begin{array}{rl}& m=-\frac{1}{\frac{-3}{5}}=\frac{5}{3}\\ & y-y_1=m(x-x_1)\\ & y+2=\frac{5}{3}(x-0)\Rightarrow 3y+6=5x \left(3 \mathrm{في} \mathrm{المعادلة} \mathrm{طرفي} \mathrm{بضرب}\right)\\ & \therefore 5x-3y-6=0 \left(\mathrm{المستقيم} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(7)- جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (5-,1-) والذي يصنع $° 150$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.

$\begin{array}{r}m=\tan {150}^{\circ }=\tan \left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }\right) \mathrm{الميل}\\ =-\tan {30}^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& y-y_1=m(x-x_1)\\ & y+5=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x+1)\Rightarrow -\sqrt{3}y+(-5\sqrt{3})=x+1 \left(-\sqrt{3} \mathrm{في} \mathrm{المعادلة} \mathrm{طرفي} \mathrm{بضرب}\right)\\ & \therefore x+\sqrt{3}y+(1+5\sqrt{3})=0 \mathrm{المعادلة}\end{array}$

خامساً:

(1)- جد الميل والمقطع السيني والصادي لكل مستقيم فيما يأتي:

${\overleftrightarrow{\mathrm{L}}}_1:2x-3y+5=0$

$\begin{array}{rl}& m=\frac{-a}{b}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3} \mathrm{الميل}\\ & 2x+5=0\Rightarrow x=\frac{-5}{2} \mathrm{السيني} \mathrm{المقطع} \left(:\mathrm{فإن} y=0 \mathrm{بفرض}\right)\\ & -3y+5=0\Rightarrow y=\frac{5}{3} \mathrm{الصادي} \mathrm{المقطع} \left(:\mathrm{فإن} x=0 \mathrm{بفرض}\right)\end{array}$

${\overleftrightarrow{\mathrm{L}}}_2:8y=4x+16$

$\begin{array}{rl}& {\overleftrightarrow{\mathrm{L}}}_2:8y=4x+16\Rightarrow 4x-8y+16=0\\ & \therefore x-2y+4=0\end{array}$

$$\begin{gathered} m=\frac{1}{2}=\frac{x \mathrm{معامل} -}{y \mathrm{معامل}} \\ \begin{array}{rl}& x=-4 \mathrm{السيني} \mathrm{المقطع} \left(\mathrm{فإن} y=0 \mathrm{بفرض}\right)\\ & y=2 \mathrm{الصادي} \mathrm{المقطع} \left(\mathrm{فإن} x=0 \mathrm{بفرض}\right)\end{array} \end{gathered}$$

${\overleftrightarrow{L}}_3:3y=-4$

$\begin{array}{rl}& {\overleftrightarrow{\mathrm{L}}}_3:3y=-4\Rightarrow 3y+4=0\\ & m=\frac{-a}{b}=0\end{array}$

المستقيم // محور الصادات.

المقطع السيني لا يوجد.

المقطع الصادي $y=\frac{-4}{3}$

(2)- جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (5-,2) ويوازي المستقيم الذي معادلته $2x-y+3=0$

ميل المستقيم المعلوم $m=\frac{-a}{b}=\frac{-2}{-1}=2$

بما أن متوازيان فلهما نفس الميل

$\begin{array}{rl}& \therefore y-y_1=m(x-x_2)\\ & y+5=2(x-2)\Rightarrow y+5=2x-4\\ & \therefore 2x-y-9=0 \mathrm{المعادلة} \mathrm{المطلوبة}\end{array}$

(3)- جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (2-,2) وعمودياً على المستقيم الذي معادلته $x+y=0$

ميل المستقيم المعلوم $m_1=\frac{-a}{b}=\frac{-1}{1}=-1$

وبما ان المستقيمان متعامدان $\therefore m_2=1$

لأن $m_1\times m_2=-1$

$\begin{array}{rl}& y-y_1=m(x-x_1)\\ & y+2=1(x-2)\Rightarrow y+2=x-2\\ & \therefore x-y-4=0\end{array}$

سادساً:

إذا كان معادلة $\overleftrightarrow{\mathrm{L}}$ هي $wx-8y=7$ ومعادلة $\overleftrightarrow{\mathrm{M}}$ هي $5x+2y=11$ فجد قيمة w

$\overleftrightarrow{\mathrm{L}}//\overleftrightarrow{\mathrm{M}}$

$$\begin{gathered} \overleftrightarrow{\mathrm{L}}//\overleftrightarrow{\mathrm{M}}\Rightarrow {\mathrm{m}}_{\mathrm{L}}={\mathrm{m}}_{\mathrm{m}} \\ \frac{-\mathrm{w}}{-8}=\frac{-5}{2}\Rightarrow \frac{\mathrm{w}}{8}=\frac{-5}{2}2\mathrm{w}=-40\Rightarrow \mathrm{w}=-20 \end{gathered}$$

$\overleftrightarrow{\mathrm{L}}\perp \overleftrightarrow{\mathrm{M}}$

$\begin{array}{rl}& \overleftrightarrow{\mathrm{L}}\perp \overleftrightarrow{\mathrm{M}}\Rightarrow m_{\mathrm{L}}\times m_m=-1\\ & \frac{-w}{-8}\times \frac{-5}{2}=-1\\ & \frac{5w}{-16}=-1\\ & \therefore 5w=+16\\ & w=\frac{+16}{5}\end{array}$