القيمة المطلقة للعدد الحقيقي

القيمة المطلقة للعدد الحقيقي Absolute value for real Number:

تعريف: $\mathrm{\forall }x\in \mathrm{R}$، نعرف القيمة المطلقة للعدد الحقيقي x التي ترمز لها بالرمز |x| وكما يلي:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{cll}x& ,& x>0\\ 0& ,& x=0\\ -x,& ,& x<0\end{array}$

مثلاً:

$\begin{array}{ll}\left|5\right|=5,|-5|=5,& |-2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}\\ |7-\sqrt{2}|=7-\sqrt{2}7>\sqrt{2} \mathrm{لأن}& \left|\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}\\ |\sqrt{5}-6|=6-\sqrt{5}& \\ 6>\sqrt{5} \mathrm{لأن}& \end{array}$

(1)- عبر باستخدام تعريف القيمة المطلقة للعدد الحقيقي من كل مما يأتي:

$|-7|$

$|-7|=7$

$|x-3|$

$$\begin{gathered} |x-3|=\{\begin{array}{ll}x-3,& x-3>0\\ 0,& x-3=0\\ -(x-3),& x-3<0\end{array} \\ =\{\begin{array}{ll}x-3& x>3\\ 0& x=3\\ 3-x& x<3\end{array} \end{gathered}$$

نستنتج من التعريف أن القيمة المطلقة تتمتع بالخواص الآتية:

$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{R},\left|x\right|\ge 0$

مثلاً: $-5\in \mathrm{R}|-5|=5>00\in \mathrm{R}\left|0\right|=0$

$\mathrm{\forall }x\in R,|-x|=\left|x\right|$

مثلاً: $9=|-9|=\left|9\right|$

$\mathrm{\forall }x\in R-\left|x\right|\le x\le \left|x\right|$

مثلاً: $-\left|6\right|\le 6\le \left|6\right|$

$\mathrm{\forall }x\in R{x}^2=|x{|}^2$

مثلاً: $(-3{)}^2=|-3{|}^2\Rightarrow 9=(3{)}^2=9$

$\mathrm{\forall }x,y\in R,|x\cdot y|=\left|x\right|.\left|y\right|$

مثلاً: $x=3,y=-5 , |-15|=\left|3\right|.|-5|=\left(3\right)\left(5\right)=15$

إذا كان $\left|x\right|\le a$ فإن $-a\le x\le a$

مثلاً: إذا كان $x\le 7$ فإن $-7\le x\le 7$

$|x+y|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ فإن $\mathrm{\forall }x,y\in \mathrm{R}$

مثلاً: $x=3y=5 , |3+5|=\left|3\right|+\left|5\right|\Rightarrow 8=8$

$\begin{array}{rl}& x=3,y=-5\\ & |3+(-5\left)\right|<\left|3\right|+\left|5\right|\\ & |-2|<3+5\Rightarrow 2<8\end{array}$