تمارين (1-2)

(1)- جد مجموعة حلول المعادلات الآتية مستخدماً طريقة التحليل ثم تحقق من صحة الحل:

$6x^2+7x-3=0$

نحلل الطرف الأيسر بطريقة التجربة

$\begin{array}{rl}& (2x+3)(3x-1)=0\\ & 2x+3=0 \mathrm{أو} 3x-1=0 \mathrm{إما}\\ & 2x+3=0 \mathrm{أو} 3x-1=0 \mathrm{إما}\\ & 3x-1=0\Rightarrow 3x=1\Rightarrow x=\frac{1}{3} \mathrm{تحقق}\\ & \text{OR }2x+3=0\Rightarrow 2x=-3\Rightarrow x=\frac{-3}{2} \mathrm{تحقق} \mathrm{لا}\end{array}$

مجموعة الحل = $\left\{\frac{1}{3}\right\}$

ملاحظة: عزيزي الطالب للتحقق من صحة الحل عوض كل قيمة للمتغير x في المعادلة الأصلية فإن كان الطرف الأيسر = الطرف الأيمن فقيمة x تحقق وإذا لا تساوي فإن x لا تحقق صحة الحل.

$2x^2+3x-9=0$

نحلل الطرف الأيسر بالتجربة

$$\begin{gathered} (x+3)(2x-3)=0 \\ x+3=0 \mathrm{أو} 2x-3=0 \mathrm{إما} \\ x=-32 \mathrm{أو} x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

التحقيق عندما x=-3 فإن:

$$\begin{gathered} \mathrm{الأيسر} \mathrm{الطرف} =2(-3{)}^2+3(-3)-9=18-9-9=0 \\ \therefore x=-3 \mathrm{تحقق} \end{gathered}$$

عندما $x=\frac{3}{2}$ فإن:

$$\begin{gathered} \mathrm{الأيسر} \mathrm{الطرف} =2{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+3\left(\frac{3}{2}\right)-9=2\left(\frac{9}{4}\right)+\frac{9}{2}-9=\frac{9}{2}+\frac{9}{2}-9=\frac{18}{2}-9=0 \\ \therefore x=\frac{3}{2} \mathrm{تحقق} \end{gathered}$$

مجموعة الحل = $\{-3,\frac{3}{2}\}$

$x^2+12=7x$

$\begin{array}{rl}& x^2-7x+12=0\\ & (x-3)(x-4)=0\\ & x-3=0 \mathrm{أو} x-4=0 إما\\ & x=3 \mathrm{أو} x=4\end{array}$

مجموعة الحل = $\{3,4\}$

تأكد من التحقيق بنفسك

$x-\sqrt{x}-12=0,x>0$

$\begin{array}{rl}& x-\sqrt{x}-12=0\\ & (\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+3)=0 \mathrm{التجربة} \mathrm{بطريقة} \mathrm{التحليل}\\ & \sqrt{x}-4=0 \mathrm{أو} \sqrt{x}|+3=0 \mathrm{إما}\\ & \sqrt{x}=4\sqrt{x}=-3\\ & x=16x=9 \mathrm{بالتربيع}\\ & x=9\Rightarrow 9-\sqrt{9}-12=9-3-12=\mathrm{التحقق}\\ & =-6\ne 0\\ & \mathrm{المعادلة} \mathrm{تحقق} \mathrm{لا} x=9\therefore \\ & x=16\Rightarrow 16-\sqrt{16}-12=16-4-12=0\end{array}$

مجموعة الحل = $\left\{16\right\}$

$\begin{array}{rl}& x^6+7^3=8\\ & x^6+7x^5-8=0\\ & (x^3+8)(x^3-1)=0\\ & x^3+8=0 \mathrm{أو} x^3-1=0 \mathrm{إما}\\ & x^3=-8x^3=1\\ & x=-2x=1\end{array}$

مجموعة الحل = $\{-2,1\}$

التحقيق يترك للطالب

(2)- بين نوع جدري المعادلات الآتية ثم جد مجموعة الحلول لكل منها مستخدماً القانون والدستور.

$3x^2-7x+2=0$

$$\begin{gathered} a=3b=-7c=2 \\ {b}^2-4ac=(-7{)}^2-4(3\left)\right(2)=49-24=25>0 \end{gathered}$$

للمعادلة حل في R ولها جذران حقيقيان مختلفان

$$\begin{gathered} x=\frac{-b\mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)\mp \sqrt{25}}{2\left(3\right)}=\frac{7\mp 5}{6} \\ x=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \mathrm{أو} x=\frac{{\displaystyle 7+5}}{{\displaystyle 6}}=2 \mathrm{إما} \end{gathered}$$

مجموعة الحل = $\{\frac{1}{3},2\}$

$3x^2-7x+4=0$

$$\begin{gathered} a=3b=-7c=4 \\ \begin{array}{rl}& b^2-4ac=49-4\left(3\right)\left(4\right)=49-48=1>0\end{array} \end{gathered}$$

للمعادلة جذران مختلفان في R

$$\begin{gathered} x=\frac{-b\mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)\mp \sqrt{1}}{2\left(3\right)}=\frac{7\mp 1}{6} \\ x=\frac{7-1}{6}=1 \mathrm{أو} x=\frac{7+1}{6}=\frac{4}{3} \mathrm{إما} \end{gathered}$$

مجموعة الحل = $\{1,\frac{4}{3}\}$

$4x^2+9=12x$

$\begin{array}{rl}& 4x^2+9=12x\Rightarrow 4x^2\cdot 12x+9=0\\ & a=4b=-12c=9\\ & b^2-4ac=(-12{)}^2-4(4\left)\right(9)=144-144=0\end{array}$

للمعادلة حل ولها جذران متساويان في R

$\begin{array}{rl}& x=\frac{-b\mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-12)\mp 0}{2\left(4\right)}\\ & x=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\end{array}$

مجموعة الحل = $\left\{\frac{3}{2}\right\}$

$x^2-4x+5=0$

$\begin{array}{rl}& a=1b=-4c=5\\ & b^2-4ac=(-4{)}^2-4(1\left)\right(5)=16-20=-4<0\end{array}$

ليس للمعادلة حل في ٌ ومجموعة الحل = $\varnothing$