المعادلات

المعادلة والمتراحجات في R:

سبق وإن درست في السنوات الماضية إيجاد مجموعة حل المعادلة من الدرجة الأولى في متغير واحد أو متغيرين كذلك المعادلات من الدرجة الثانية في متغير واحد. والمعادلتين المتكافئتين وهما المعادلتان اللتان لهما نفس مجموعة الحل ونفس مجموعة التعويض وإذا لم تذكر مجموعة التعويض فيعني أن مجموعة التعويض هي R.

فمثلاً x-1=0 , x²-1=0 ليستا متكافئتين.

أما المعادلتان 2x+3=5 , 2x=5 فهما متكافئتين.

وكذلك خواص التبديل والتجميع والاختزال التي تجري على معادلة ما تؤدي إلى معادلة مكافئة لها.

ويمكن أن نقوم بعملية معينة على مجموعة من المعادلات وتحصل على معادلات تختلف مجموعة حلولها عن المعادلات الأصلية مثلاً إذا كان 0=1-x فإن

1=x وبالتربيع للطرفين نحصل على 1=x² حيث x²-1=0 بإضافة النظير الجمعي للطرفين وبالتحليل نحصل على 0=(1+x)(x-1) ( x حيث 1=x أو 1-=x فمجموعة حل المعادلة الأولى {1} والثانية {1,1-} لذلك يجب على الطالب التأكد من قيم المتغير وذلك بتعويضها في المعادلة الأصلية للتحقق من صحة الحل.

التحليل Analysis:

نعلم أن المعادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد تكتب بالشكل:

$a\ne 0 \mathrm{حيث} a{x}^2+bx+c=0$

ولحل المعادلة هذه بالتحليل بالشكل $(mx-d)(nx-e)=0$

لذلك يكتب تحليل المعادلة بالشكل:

$(mx-d)(nx-e)=0\leftrightarrow \{\begin{array}{cc}mx-d=0& x=\frac{d}{m}\\ nx-e=0& x=\frac{e}{n}\end{array}$

لذلك مجموعة حل المعادلة القياسية من الدرجة الثانية هي:

$\{\frac{d}{m},\frac{e}{n}\}$

(1)- حل المعادلة $x^2-7x+6=0$

$\begin{array}{rl}& x^2-7x+6=0\iff (x-1)(x-6)=0\\ & x-1=0 \mathrm{أو} x-6=0 \mathrm{إما}\\ & \therefore x=1 \mathrm{أو} x=6\end{array}$

مجموعة الحل = $\{1,6\}$

(2)- حل المعادلة $x^2=49$

$\begin{array}{rl}& x^2=49\iff x^2-49=0\\ & \therefore (x-7)(x+7)=0\\ & x-7=0 \mathrm{أو} x+7=0 \mathrm{إما}\\ & \therefore x=7x=-7\end{array}$

مجموعة الحل = $\{-7,7\}$

الدستور (القانون):

الصيغة القياسية لمعادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد هي $a\ne 0,a{x}^2+bx+c=0$ وباستخدام طريقة إكمال المربع.

$a{x}^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=0\dots \left(1\right)$

لو أضفنا وطرحنا المقدار ${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$ إلى الطرف الأيسر للمعادلة (1)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& a[(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)+(\frac{c}{a}-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)]=0 \left(a \mathrm{على} \mathrm{بالقسمة}\right)\\ & {[x+\frac{b}{2a}]}^2+\left[\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right]=0 \left(\mathrm{الأيسر} \mathrm{الطرف} \mathrm{تبسيط}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \therefore {(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\therefore x+\frac{b}{2a}=\mp \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a^2} \left(\mathrm{الطرفين} \mathrm{بجذر}\right)\\ & x=\frac{-b}{2a}\mp \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a^2}\therefore x=\frac{-b\mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a^2} \left(\mathrm{الدستور}\right)\end{array} \end{gathered}$$

الحد المطلق = c , معامل = b=x , معامل a=x²

وتكون مجموعة حل المعادلة $a{x}^2+bx+c=0$ بالدستور هي:

$\{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\}$

(3)- حل المعادلة $2x^2-3x=1$ بطريقة الدستور.

$2x^2-3x-1=0\to a=2,b=-3,c=-1$

نجد المقدار $b^2-4ac$ ويسمى (المميز) كما مر بنا سابقاً.

$b^2-4ac=(-3{)}^2-4(2)-1)=9+8=17\in R$

يمكن تطبيق الدستور لأن المميز أكبر من 17

$\begin{array}{r}x=\frac{-b\mp \sqrt{b^{2-4ac}}}{2a}=\frac{-(-3)\mp \sqrt{17}}{2\left(2\right)}\\ =\frac{3\mp \sqrt{17}}{4}\end{array}$

مجموعة الحل = $\{\frac{3-\sqrt{17}}{4},\frac{3+\sqrt{17}}{4}\}$

(4)- حل المعادلة $4x^2-4x+1=0$

من المعادلة نجد $a=4,b=-4,c=1$ والمميز $b^2-4ac=16-4\left(4\right)\left(1\right)=0$

يمكن تطبيق الدستور

$\begin{array}{rl}& x=\frac{-b\mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & x=\frac{-(-4)\mp 0}{2\left(4\right)}=\frac{4}{8}\to x=\frac{1}{2}\end{array}$

مجموعة الحل = $\left\{\frac{1}{2}\right\}$

تذكر أيها الطالب أنه إذا كان المميز:

1. $b^2-4ac>0$ يوجد حل المعادلة في R ولها جذران حقيقيان مختلفان.
2. $b^2-4ac=0$ يوجد حل المعادلة في R ولها جذران حقيقيان متساويان.
3. $b^2-4ac<0$ ليس للمعادلة حل في R ومجموعة الحل = $\varnothing$

(5)- حل المعادلة $x^2-2x+5=0$

$$\begin{gathered} a=1,b=-2c=5 \\ \begin{array}{rl}& b^2-4ac=\\ & (-2{)}^2-4(1\left)\right(5)=4-20=-16<0\end{array} \end{gathered}$$

ليس للمعادلة حل في R

مجموعة الحل = $\varnothing$