تمارين (7-3)

1- جد عددين مجموعهما (15) وحاصل ضرب أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x

نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{array}{c}m=x{y}^2.......\left(1\right)\\ x+y=15\Rightarrow y=15-x....\left(2\right)\end{array}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{array}{rl}& m=x(15-x{)}^2\\ & \overline{m}=x\left(2\right)(15-x)(-1)+(15-x{)}^2(1)\\ & -2x(15-x)+(15-x{)}^2=0\\ & (15-x)[-2x+15-x]=0\\ & \mathrm{إما} 15-x=0\Rightarrow x=15 \mathrm{تهمل}\\ & \mathrm{أو} -3x+15=0\Rightarrow -3x=-15]÷-3\Rightarrow x=5 \mathrm{الأول} \mathrm{العدد}\end{array}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y=15-5=10$

2- ما العدد الذي زيادة على مربعه أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد = x

نفرض مربعه = x2

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{array}{rl}& m=x-x^2\\ & \overline{m}=1-2x,\overline{m}=0\Rightarrow 1-2x=0\\ & 2x=1\Rightarrow \therefore x=\frac{1}{2}\end{array}$

3- جد عددين موجبين مجموعهما (15) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مكعب الآخر أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x

نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{array}{c}m=x^2{x}^3......\left(1\right)\\ x+y=15\Rightarrow y=15-x...\left(2\right)\end{array}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{array}{rl}& m=x^2(15-x{)}^3\\ & \overline{\overline{}\text{m}}=x^2\left(3\right)(15-x{)}^2(-1)+(15-x{)}^{3}2x=0\\ & -3x^2(15-x{)}^2+2x(15-x{)}^3=0\\ & x(15-x{)}^2[-3x+2(15-x)]=0\\ & \mathrm{إما} x=0 \mathrm{يهمل} \mathrm{أو} x=15 \mathrm{يهمل}\\ & \mathrm{أو} -3x+30-2x=0\Rightarrow -5x+30\\ & +5x=-30]÷-5\Rightarrow x=6\end{array}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y=15-6=9$

4- جد عددين مجموعهما (10) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x

نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$$\begin{gathered} m=x^2{y}^2.....\left(1\right) \\ x+y=10\Rightarrow y=10-x.....\left(2\right) \end{gathered}$$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{array}{rl}& m=x^2(10-x{)}^2\\ & \overline{m}=x\left(2\right)(10-x)(-1)+(10-x{)}^{2}2x=0\\ & -2x^2(10-x)+2x(10-x{)}^2=0\\ & 2x(10-x)[-x+10-x]=0\\ & \mathrm{إما} 2x=0\Rightarrow x=0 \mathrm{يهمل}\\ & \mathrm{أو} 10-x=0\Rightarrow x=10 \mathrm{يهمل}\\ & \mathrm{أو} -x+10-x=0\Rightarrow -2x+10=0]÷-2\\ & x-5=0\Rightarrow x=5 \mathrm{الأول} \mathrm{العدد}\end{array}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y=10-5=5$

5- قطعة أرض مستطيلة يحدها نهر من إحدى جهاتها جد أكبر مساحة من الأرض يمكن نسيجها بسياج طوله (100) متر؟

نفرض الطول = y

نفرض العرض $x=A=x\cdot y....\left(1\right)$

$\begin{array}{rl}& P=2x+y \mathrm{المحيط}\\ & 100=2x+y\Rightarrow y=100-2x....\left(2\right)\end{array}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{array}{rl}& A=x(100-2x)\Rightarrow A=100x-2x^2\\ & \overline{A}=100-4x=0]÷4\Rightarrow 25-x=0\Rightarrow x=25\mathrm{cm}\end{array}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$\begin{array}{rl}& y=100-2\left(25\right)=100-50=50\\ & \therefore A=xy\Rightarrow A=25\left(50\right)=1250m\end{array}$

6- حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة وحجمه $\left(108\right)m^3$ جد أبعاده حيث تكون مساحة الألواح المستخدمة في صنعة أقل ما علن؟

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

$A=4xh+x^2....\left(1\right)$

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

$V=x^{2}h\Rightarrow 108=x^{2}h\Rightarrow h=\frac{108}{x^2}......\left(2\right)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{array}{rl}& A=4x\left(\frac{108}{x^2}\right)+x^2\\ & A=\frac{432}{x}+x^2\\ & \overline{A}=\frac{-432}{x^2}+2x=0]x^2\\ & -432+2x^3=0]÷2\Rightarrow -216+x^3=0\\ & x^3=216 \mathrm{التكعيبي} \mathrm{بالجذر}\\ & x=6\end{array}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$h=\frac{108}{36}=3$

7- أطلقت رصاصة إلى الأعلى وكان ارتفاعها (m) متر في نهاية t من الثواني حيث أن $m=224t-16t^2$ احسب أقصى ارتفاع تصل إليه الرصاصة؟

$\begin{array}{rl}& \overline{m}=224-32t=0]÷32\\ & 7-t=0\Rightarrow t=7b \mathrm{ثا}\end{array}$

يصل الجسم أقصى ارتفاع بعد 7 ثواني

8- نافذة على شكل مستطيل يعلوه نص دائرة بحيث ينطبق قطرها على أحد أبعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة أكبر ما يمكن؟

نفرض الطول = 2x

نفرض العرض = y

نفرض نصف قطر الدائرة = x

المساحة = مساحة المستطيل + مساحة نصف دائرة

$\begin{array}{rl}& A=2xy+\frac{1}{2}\pi x^2......\left(1\right)\\ & P=2(2x+y)\Rightarrow 8=2(2x+y)÷2\\ & 2x+y=4\Rightarrow y=4-2x.......\left(2\right)\end{array}$

نعوض معادلة (2) في (1)

$\begin{array}{rl}& A=2x(4-2x)+\frac{1}{2}\pi x^2\\ & A=8x-4x^2+\frac{1}{2}\pi x^2\\ & \overline{A}=8-8x+\pi x=0\Rightarrow -8x+\pi x=-8\\ & -x(8-\pi )=-8÷(8-\pi )\\ & x=\frac{8}{8-\pi }\therefore 2x\Rightarrow \left(\frac{8}{8-\pi }\right)\\ & 2x=\frac{16}{8-\pi }m\end{array}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$\begin{array}{rl}& y=4-2\left(\frac{8}{8-\pi }\right)=4-\frac{16}{8-\pi }\Rightarrow \frac{32-4\pi -16}{8-\pi }\\ & \therefore y=\frac{16-4\pi }{8-\pi }m\end{array}$

9- في ورشة للتجارة يراد صنع صندوق من الخشب على شكل متوازي السطوح قاعدة مربعة الشكل بدون غطاء جد أبعاد الصندوق لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن علماً أن مجموع محيط قاعدته وارتفاعه $90m$

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

$V=x^{2}h.....\left(1\right)$

محيط القاعدة + الارتفاع = 90

$4x+h=90\Rightarrow h=90-4x......\left(2\right)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& V=x^2(90-4x)\\ & V=90x^2-4x^3\\ & \overline{V}=180x-12x^2=0]÷12\\ & 15x-x^2=0\Rightarrow x(15-x)=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{إما} x=0 \mathrm{يهمل}\\ & \mathrm{أو} x=15\mathrm{m}\end{array} \end{gathered}$$

تعوض قيمة x في معادلة (2)

$h=90-4\left(15\right)\Rightarrow h=90-60=30m$