تمارين (6-3)

1- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدوال الآتية:

- $f\left(x\right)=4-6x-x^2$

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow f\left(0\right)4-6\left(0\right)-(0{)}^2=4 \\ y=0\Rightarrow 4-6x-x^2=0 \end{gathered}$$

لا يمكن التحليل

نقطة التقاطع (0,4)

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=-6-2x=0\Rightarrow -3x=6\\ & x=-3\\ & f(-3)=4-6(-3)-(-3{)}^2\\ & =4+18-9=13\end{array}$

النقطة (3,13-) نقطة حرجة

مناطق التناقص = $\{x:x<-3\}$

مناطق التزايد = $\{x:x>-3\}$

$\overline{\overline{f}}\left(x\right)=-2<0$

لا توجد نقاط انقلاب والدالة محايدة

- $f\left(x\right)=3x-x^3$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow y=0\\ & y=0\Rightarrow 3x-x^3=0\Rightarrow x(3-x^2)=0\\ & x=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{أو} (\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)=0\\ & \mathrm{إما} x=\sqrt{3} \mathrm{أو} x=-\sqrt{3}\end{array} \end{gathered}$$

نقاط التقاطع هنا $(0,0),(\sqrt{3},0),(-\sqrt{3},0)$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3-3x^2\overline{f}\left(x\right)=0\\ & 3-3x^2=0]÷3\Rightarrow 1-x^2=0\\ & (1-x)(1+x)=0\\ & \mathrm{إما} x=1,\mathrm{أو} x=-1\\ & f\left(1\right)=3-1=2\\ & f(-1)=-3+1=-2\end{array}$

النقاط الحرجة $(1,2),(-1,-2)$

مناطق التزايد = $(-1,1)$

مناطق التناقص = $\{x:x>1\},\{x:x<-1\}$

$\begin{array}{rl}& \overline{\overline{f}}\left(x\right)=-6x=0]÷-6\Rightarrow x=0\\ & f\left(0\right)=0\end{array}$

نقطة الانقلاب (0,0)

- $f\left(x\right)=(x-1{)}^3$

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow f\left(0\right)=(0-1{)}^3=-1\\ & y=0\Rightarrow (x-1{)}^3=0 \mathrm{التكعيبي} \mathrm{بالجذر} x-1=0\Rightarrow x=1\end{array}$

نقط التقاطع $(0,-1),(1,0)$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3(x-1{)}^2=0]÷3\\ & (x-1{)}^2=0 \mathrm{التربيعي} \mathrm{بالجذر}\\ & x-1=0\Rightarrow x=1\\ & f\left(1\right)=(1-1{)}^3=0\end{array}$

النقطة الحرجة (1,0)

$\begin{array}{rl}& \overline{\overline{f}}\left(x\right)=6(x-1)=0]÷6\\ & x-1=0\Rightarrow x=1\\ & f\left(1\right)=(1-1{)}^3=0\end{array}$

النقطة (1,0) نقطة الانقلاب

مناطق التحدب = $\{x:x<1\}$

مناطق التقعر = $\{x:x>1\}$

- $f\left(x\right)=x^3-2x^2+1$

$x=0\Rightarrow f\left(0\right)=(0{)}^3-2(0{)}^2+1=1$

نقطة التقاطع (0,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3x^2-4x=0\Rightarrow x(3x-4)=0\\ & \mathrm{إما} x=0 \mathrm{أو} 3x-4=0\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac{4}{3}\\ & f\left(0\right)=1\\ & f\left(\frac{4}{3}\right)={\left(\frac{4}{3}\right)}^3-2{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+1=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+1=\frac{-5}{27}\end{array}$

النقاط الحرجة $(0,1),(\frac{4}{3},\frac{-5}{27})$

مناطق التزايد = $\{x:x>\frac{4}{3}\},\{x:x<0\}$

مناطق التناقص = $(0,\frac{4}{3})$

$\begin{array}{rl}& \overline{\overline{f}}\left(x\right)=6x-4=0]÷2\\ & 3x-2=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}\\ & f\left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^3-2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+1=\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+1=\frac{11}{27}\end{array}$

نقطة الانقلاب $(\frac{2}{3},\frac{11}{27})$

مناطق التقعر = $\{x:x>1\}$

مناطق التحدب = $\{x:x<1\}$