التطبيقات الهندسية

إذا كانت صيغة السؤال جد معادلة المماس والعمود على المماس نتبع الخطوات الآتية:

• نجد نقطة التماس (x,y) وذلك:

أ- إذا أعطى قيمة x نعوض قيمة x في الدالة الأصلية لإيجاد y

ب- إذا أعطى قيمة y نعوض نيمة x في الدالة الأصلية لإيجاد x

• نجد المشتقة $\overline{f}\left(x\right)$

• نعوض قيمة x في المشتقة لإيجاد الميل $\overline{f}\left(x\right)=m$

• نطبق القانون الآتي $y-y_1=m(x-x_1)$

ملاحظة:

ميل العمود - المقلوب السالب لميل المماس

$\mathrm{العمود} m =\frac{-1}{\mathrm{مماس} m}$

1- جد معادلة المماس للمنحني $f\left(x\right)=x^2-5x+2$ عند x=1

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}f\left(1\right)=y& =(1{)}^2-5(1)+2\\ & =1-5+2=-2\\ & (1,-2) \mathrm{التماس} \mathrm{نقطة}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=2x-5\\ & \overline{f}\left(1\right)=2\left(1\right)-5=-3=\mathrm{الميل}\\ & y-y_1=m(x-x_1)\\ & y+2=-3(x-1)\\ & y+2=-3x+3=3x+y+2-3=0\\ & 3x+y-1=0\end{array} \end{gathered}$$

2- جد معادلة المماس للمنحني $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x+3}$ عند x=5

$$\begin{gathered} f\left(5\right)=y=\sqrt[3]{5+3}=\sqrt[3]{8}=2 \\ (5,2) \mathrm{التماس} \mathrm{نقطة} \\ \begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+3{)}^2}}\\ & \overline{f}\left(5\right)=m=\frac{1}{3\sqrt[3]{(5+3{)}^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(8{)}^2}}\\ & m=\frac{1}{3\left(4\right)}=\frac{1}{12}\\ & y-y_1=m(x-x_1)\Rightarrow y-2=\frac{1}{12}(x-5)\\ & 12y-24=x-5\Rightarrow x-12y-5+24=0\\ & x-12y+19=0\end{array} \end{gathered}$$

3- جد معادلة المماس والعمودي على المماس للمنحني $y=\frac{2x+1}{3-x}$ عند y=5

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 5=\frac{2x+1}{3-x}\Rightarrow 5(3-x)=2x+1\\ & 15-5x=2x+1\\ & 5x+2x=15-1\Rightarrow 7x=14\Rightarrow x=2\end{array} \\ (5,2) \mathrm{التماس} \mathrm{نقطة} \\ \begin{array}{rl}& \overline{y}=\frac{(3-x)\left(2\right)-(2x+1)(-1)}{(3-x{)}^2}\\ & \overline{y}=m=\frac{(3-2)\left(2\right)-(4+1)(-1)}{(3-x{)}^2}=\frac{2-(-5)}{1}\\ & =2+5=7\\ & y-y_1=m(x-x_1)\Rightarrow y-5=7(x-2)\\ & y-5=7x-14\\ & y-7x-5+14=0\Rightarrow y-7x+9=0\\ & m=\frac{-1}{m}=\frac{-1}{7}\\ & y-y_1=m(x-x_1)\Rightarrow y-5=\frac{1}{7}(x-2)\\ & 7y-35=-x+2\\ & x+7y-35-2=0\\ & x+7y-37=0\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة:

1. التقاطع مع السينات تعني نعوض 0=y في الدالة ونجد x

2. التقاطع مع الصادات تعني نعوض 0=x في الدالة لنجد y

4- جد معادلة المماس للمنحني $y=x^2+1$ عند نقطة تقاطع مع محور الصادات؟

التقاطع مع الصادات 0=x

$y=(0{)}^2+1=1$

النقطة هي (0,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{y}=2x\\ & \overline{y}=m=2\left(0\right)=0 \mathrm{الميل}\\ & y-y_1=m(x-x_1)\\ & y-1=0(x-0)⟹y-1=0\end{array}$

ملاحظة:

(إذا كانت صيغة السؤال جد نقطة تنتمي إلى منحتي الدالة نتبع الخطوات التالية)

1. نجد ميل المستقيم المعلوم من معادلة المستقيم $ax+by+c=0$ $\overline{f}\left(x\right)=m=\frac{x \mathrm{معامل}-}{y \mathrm{معامل}}$

2. نجد المشتقة $\overline{f}\left(x\right)$

3. مساواة المشتقة بميل المستقيم المعلوم $\overline{f}\left(x\right)=m$

4. ثم التبسيط لنجد قيم x ثم نعوض في x في الدالة الأصلية لإيجاد y

ملاحظة:

إذا كان المماس يوازي محور السينات فإن ميله يساوي صفر $\overline{f}\left(x\right)=0$

5- جد نقطة تنتمي إلى المنحني $f\left(x\right)=x^2-4x+5$ والتي عندها المماس يوازي المستقيم الذي معادلته $y+2x+3=0$

$$\begin{gathered} \overline{f}\left(x\right)=m=\frac{-2}{1}=-2 \\ \begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=2x-4\Rightarrow -2=2x-4\Rightarrow -2+4=2x\\ & 2x=2\Rightarrow x=1\\ & f\left(1\right)=y=(1{)}^2-4(1)+5=1-4+5=2\\ & (1,2) \mathrm{النقطة}\end{array} \end{gathered}$$

6- إذا كانت الدالة $f\left(x\right)=x^2+ax+b$ وكان ميل المماس عند 1-=x هو (4) وكان المنحني يمر بالنقطة (3,2-) جد قيمة a,b

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2+ax+b \\ \begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=2x+a\\ & \overline{f}\left(x\right)=m=4,x=-1\\ & 4=2(-1)+a\Rightarrow 4=-2+a\Rightarrow a=6\\ & f\left(x\right)=x^2+6x+b \mathrm{الدالة} \mathrm{في} (-3,2) \mathrm{النقطة} \mathrm{نعوض} \\ & 2=(-3{)}^2+6(-3)+b\\ & 2=9-18+b\Rightarrow 2=-9+b\\ & \therefore b=2+9\Rightarrow b=11\end{array} \end{gathered}$$