المشتقات ذات الرتب العليا

المشتقات ذات الرتب العليا

إذا كانت $y=f\left(x\right)$ دالة قابلة للاشتقاق فإن مشتقها الأولى هي $y\text{'}=\frac{dy}{dx}=f\text{'}\left(x\right)$ وهي دالة جديدة والدالة الجديدة $f\text{'}\left(x\right)$ إذا توافرت فيها شروط الاشتقاق فإن مشتقها دالة تمثل المشتقة الثانية ويرمز لها $y\text{'}\text{'}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ وهذه الأخيرة أيضاً دالة جديدة وإذا توافرت فيها شروط الاشتقاق فإن مشتقها يسمى المشتقة الثالثة ويرمز لها $y\text{'}\text{'}\text{'}=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)$ وهكذا يمكن إيجاد مشتقات متتالية وبدءاً من المشتقة الثانية ويطلق على هذه المشتقات بالمشتقات العليا. وتكتب المشتقة من الرتبة $n$ كما يلي:

$y^{\left(n\right)}=\frac{d^{n}y}{d{x}^n}=f^{\left(n\right)}\left(x\right)$ حيث $n$ عدد صحيح موجب.

ملاحظات عامة:

إذا كانت $[s=f(x\left)\right]$ حيث $\left(s\right)$ تمثل إزاحة الجسم عند أي زمن $\left(t\right)$ لذا فإن:

1. $\frac{ds}{dt}=f\text{'}\left(t\right)$ المشتقة الأولى وهي تمثل السرعة اللحظية للجسم ويرمز لها بالرمز $\left(v\right)$.
2. $\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=f\text{'}\text{'}\left(t\right)$ المشتقة الثانية وهي تمثل التعجيل للجسم (معدل تغيير السرعة) ويرمز لها بالرمز $\left(g\right)$.
3. $\frac{d^{3}s}{d{t}^3}=f\text{'}\text{'}\text{'}\left(t\right)$ المشتقة الثالثة وهي تمثل معدل التغير الزمني للتعجيل.