تمرينات (3 - 4)

(1)-

ABC مثلث قائم الزاوية في B فيه $\frac{8}{17}$ = sin C جد: cos C ،tan C ،sin A.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{S}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{}\mathbf{C}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{المقابل}}}{\mathbf{المجاور}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8}\mathbf{k}}{\mathbf{17}\mathbf{k}}\\ & \mathbf{(}\mathbf{A}\mathbf{C}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{A}\mathbf{B}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{C}\mathbf{B}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{فيثاغورس}\\ & \mathbf{(}\mathbf{17}\mathbf{k}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{8}\mathbf{k}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{C}\mathbf{B}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{(}\mathbf{C}\mathbf{B}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{289}{\mathbf{k}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{64}{\mathbf{k}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{255}{\mathbf{k}}^{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{C}\mathbf{B}\mathbf{=}\mathbf{15}\mathbf{k}\\ & \mathbf{s}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{A}\mathbf{=}\frac{\mathbf{15}\mathbf{k}}{\mathbf{17}\mathbf{k}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{17}}\\ & \mathbf{t}\mathbf{a}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{C}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8}\mathbf{k}}{\mathbf{15}\mathbf{k}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{15}}\\ \mathbf{c}& \mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{C}\mathbf{=}\frac{\mathbf{15}\mathbf{k}}{\mathbf{17}\mathbf{k}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{17}}\end{array}$

(2)-

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه AB = 25 cm ،BC = 24 cm جد قيمة sin² B + cos² B وباستخدام المعلومات المعطاة.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{(}\mathbf{A}\mathbf{B}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{A}\mathbf{C}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{B}\mathbf{C}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{فيثاغورس}\\ & \mathbf{625}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{A}\mathbf{C}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{576}\\ & \mathbf{(}\mathbf{A}\mathbf{C}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{49}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{49}}\mathbf{=}\mathbf{7}\mathbf{cm}\\ & \mathbf{S}\mathbf{i}{{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}^{\mathbf{}}\mathbf{B}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{o}{{\mathbf{s}}^{\mathbf{2}}}^{\mathbf{}}\mathbf{B}\mathbf{=}{\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{25}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{24}}{\mathbf{25}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{49}}{\mathbf{625}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{576}}{\mathbf{625}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{49}\mathbf{+}\mathbf{576}}{\mathbf{625}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{625}}{\mathbf{625}}\mathbf{=}\mathbf{1}\end{array}$

(3)- إذا كان $\frac{4}{5}$ = cos Q فأوجد sin Q ،tan Q.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{c}\mathbf{o}{{\mathbf{s}}^{\mathbf{2}}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{+}\mathbf{s}\mathbf{i}{{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{5}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{s}\mathbf{i}{{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\mathbf{1}\\ & \mathbf{s}\mathbf{i}{{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{-}\frac{\mathbf{16}}{\mathbf{25}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{25}\mathbf{-}\mathbf{16}}{\mathbf{25}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{25}}\mathbf{s}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\\ & \mathbf{t}\mathbf{a}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{s}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}}{\mathbf{c}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}}\mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}}{\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{5}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\end{array}$

(4)-

سلم طوله 10 متر مرتكز طرفه الأسفل على أرض أفقية وطرفه الآخر على حائط شاقولي فإذا كانت الزاوية بين السلم والأرض °30 فما بعد طرفه الأعلى عن الأرض وطرفه الأسفل عن الحائط؟ استعمل $(\sqrt{3}=1.73)$

نفرض بعد الطرف الأعلى عن الأرض = y، نفرض الطرف الأسفل عن الحائط = x

$\begin{array}{rl}& \mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\mathbf{}\mathbf{30}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{10}}\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{\mathbf{المجاور}}{\mathbf{الوتر}}\\ & \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{10}}\end{array}$

بعد الطرف الأسفل عن الحائط:

$\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{m}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\times }\mathbf{1}\mathbf{.73}\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{.65}\mathbf{m}$

$\mathit{s}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{30}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{10}}\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{\mathbf{المقابل}}{\mathbf{الوتر}}$

بعد الطرف الأعلى عن الأرض:

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{10}}\mathit{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathit{m}$

(5)-

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه ° AB = 20cm ،m< C A B = 60 جد مساحة منطقته.

• AC يمثل قاعدة المثلث
• BC يمثل ارتفاع المثلث

$\begin{array}{rl}& \mathbf{s}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{B}\mathbf{C}}{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{B}\mathbf{C}}{\mathbf{20}}\\ & \mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{=}\mathbf{10}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{cm}\mathbf{ }\mathbf{المثلث}\mathbf{ }\mathbf{ارتفاع}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}\mathbf{C}}{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}\mathbf{C}}{\mathbf{20}}\\ & \mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{C}\mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{المثلث}\mathbf{ }\mathbf{قاعدة}\end{array}$

$\mathbf{المثلث}\mathbf{ }\mathbf{مساحة}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathit{A}\mathit{C}\mathbf{\times }\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathbf{10}\mathbf{\times }\mathbf{10}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{50}\sqrt{\mathbf{3}}{\mathbf{cm}}^{\mathbf{2}}$

(6)- جد قيمة:

A) $\frac{3}{4}ta{n^2}^{}{30}^{\circ }+2si{n}^{}{60}^{\circ }+3ta{n}^{}{45}^{\circ }+co{s^2}^{}{30}^{\circ }-ta{n}^{}{60}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{\times }{\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{\left(}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{\times }\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathbf{\left(}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{\left(}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{\right)}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\times }\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{4}\end{array}$

B) $co{s^2}^{}{45}^{\circ }si{n}^{}{60}^{\circ }ta{n}^{}{60}^{\circ }co{s^2}^{}{30}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{c}\mathbf{o}{{\mathbf{s}}^{\mathbf{2}}}^{\mathbf{}}\mathbf{45}\mathbf{.}\mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{t}\mathbf{a}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{c}\mathbf{o}{{\mathbf{s}}^{\mathbf{2}}}^{\mathbf{}}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}\\ & \mathbf{=}{\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{\times }{\mathbf{\left(}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{16}}\end{array}$

C)$si{n}^{}{120}^{\circ }\cdot co{s}^{}{135}^{\circ },ta{n}^{}{150}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{s}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}{\mathbf{120}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{}\mathbf{(}{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{s}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{c}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{135}\mathbf{=}\mathbf{c}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{(}{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}{\mathbf{45}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{c}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}{\mathbf{45}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{t}\mathbf{a}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}{\mathbf{150}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\mathbf{t}\mathbf{a}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{(}{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{t}\mathbf{a}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\end{array}$

(7)-

في الشكل المجاور:

ABCD شبه منحرف فيه AD=BC (متساوي الساقين)، DC=20cm ،AB=14cm، AD=6cm، جد m<CDA.

ننزل عمود من A على $\overrightarrow{\mathbf{D}\mathbf{C}}$ فيقطعه في نقطة E.

$\mathit{D}\mathit{E}\mathbf{=}\frac{\mathbf{20}\mathbf{-}\mathbf{14}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{cm}$

في المثلث قائم الزاوية AED:

$\begin{array}{rl}& \mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{D}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{<}\mathbf{D}\mathbf{=}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}\end{array}$