تمرينات (2 - 4)

(1)- وقف شخص في أعلى برج وأبصر شجرتين تقعان مع قاعدة البرج على إستقامة واحدة، فكانت زاوية إنخفاض قاعدة الشجرة الأولى 70˚ وزاوية إنخفاض قاعدة الشجرة الثانية 50˚ جد المسافة بين الشجرتين مع العلم أن إرتفاع البرج 30m.

علماً أن 1.2 = ˚tan 70˚= 2.8 ،tan 50، ج/ 14.28m

$\left\{\begin{array}{rl}& \angle EAD=\angle ADB={50}^{\circ }\\ & \angle EAC=\angle ACB={70}^{\circ }\end{array}\right\}\mathbf{ }\mathbf{الإنخفاض}\mathbf{ }\mathbf{زاوية}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{الإرتفاع}\mathbf{ }\mathbf{زاوية}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{}\mathbf{70}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}\mathbf{B}}{\mathbf{B}\mathbf{C}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{2}\mathbf{.8}\mathbf{=}\frac{\mathbf{30}}{\mathbf{B}\mathbf{C}}\\ & \mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{=}\frac{\mathbf{30}}{\mathbf{2}\mathbf{.8}}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{.72}\mathbf{m}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{}\mathbf{50}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}\mathbf{B}}{\mathbf{D}\mathbf{B}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{1}\mathbf{.2}\mathbf{=}\frac{\mathbf{30}}{\mathbf{D}\mathbf{B}}\\ & \mathbf{D}\mathbf{B}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{.0}}{\mathbf{1}\mathbf{.2}}\mathbf{=}\mathbf{25}\mathbf{m}\\ & \mathbf{D}\mathbf{C}\mathbf{=}\mathbf{25}\mathbf{-}\mathbf{10}\mathbf{.72}\mathbf{=}\mathbf{14}\mathbf{.28}\mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{الشجرتين}\mathbf{ }\mathbf{بين}\mathbf{ }\mathbf{المسافة}\end{array}$

(2)- من نقطة تبعد عن قاعدة برج (50m) وجد أن زاوية إرتفاع قمتها 30˚ فما إرتفاع البرج؟

ج/ 28.9m

$\begin{array}{rl}& \mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{}\mathbf{c}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}\mathbf{B}}{\mathbf{C}\mathbf{B}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{}\mathbf{30}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}\mathbf{B}}{\mathbf{C}\mathbf{B}}\\ & \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}\mathbf{B}}{\mathbf{50}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{=}\frac{\mathbf{50}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\mathbf{29}\mathbf{.41}\mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{البرج}\mathbf{ }\mathbf{ارتفاع}\end{array}$

(3)- جد مساحة قطاع دائري طول قوسه 8 cm وطول نصف قطر دائرته 3.2 cm.

ج/ 12.8cm²

^{$\mathbf{الدائري}\mathbf{ }\mathbf{القطاع}\mathbf{ }\mathbf{مساحة}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathit{L}\mathit{r}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathbf{8}\mathbf{\times }\mathbf{3}\mathbf{.2}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{.8}{\mathbf{cm}}^{\mathbf{2}}$}

(4)- جد مساحة قطاع دائري قياس زاويته تساوي °100 وطول نصف قطر دائرته 10 cm.

ج/ 87.3cm²

^{$\mathbf{مساحة}\mathbf{ }\mathbf{القطاع}\mathbf{ }\mathbf{الدائري}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{قياس}\mathbf{ }\mathbf{زاويته}\mathbf{ }\mathbf{الستيني}}{\mathbf{360}}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{مساحة}\mathbf{ }\mathbf{سطح}\mathbf{ }\mathbf{دائرته}$}

^{$\mathit{A}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{100}}^{\mathbf{\circ }}}{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{\times }\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{36}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{22}}{\mathbf{7}}\mathbf{\times }\mathbf{100}\mathbf{=}\mathbf{87}{\mathbf{cm}}^{\mathbf{2}}$}

(5)- قطاع دائري مساحته 37.68 cm² وطول نصف قطر دائرته 6 cm جد طول قوسه.

ج/ 12.56cm

$\mathit{A}\mathbf{ }\mathbf{الدائري}\mathbf{ }\mathbf{القطاع}\mathbf{ }\mathbf{مساحة}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathit{L}\mathit{r}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{37}\mathbf{.68}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathit{L}\mathbf{\times }\mathbf{6}$

$\mathit{L}\mathbf{=}\frac{\mathbf{37}\mathbf{.68}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{.56}\mathbf{cm}\mathbf{ }\mathbf{القوس}\mathbf{ }\mathbf{طول}$

(6)- نصف محيط دائرة هو 10 cm، جد مساحة قطاع دائري فيها قياس زاويته 45˚.

ج/ 3.98cm²

^{$\mathbf{محيط}\mathbf{ }\mathbf{الدائرة}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\pi r}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{\pi r}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{نصف}\mathbf{ }\mathbf{المحيط}$}

^{$\mathbf{10}\mathbf{=}\mathit{r}\mathit{\pi }\mathbf{\Rightarrow }\mathit{r}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{\pi }}$}

نحول القياس 45ْ إلى القياس الدائري.

^{$\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{45}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{قطرية}\mathbf{ }\mathbf{نصف}\mathbf{ }\mathbf{زاوية}$}

^{$\mathit{A}\mathbf{ }\mathbf{الدائري}\mathbf{ }\mathbf{القطاع}\mathbf{ }\mathbf{مساحة}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathit{Q}{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{\times }{\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{\pi }}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}$}

^{$\mathbf{=}\frac{\mathbf{100}\mathbf{\pi }}{\mathbf{8}{\mathbf{\pi }}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{25}}{\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{3}\mathbf{.14}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{.98}{\mathbf{cm}}^{\mathbf{2}}$}

ويوجد حل آخر باستخدام القانون.

^{$\mathit{A}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{\times }\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{.98}\mathit{c}{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}$}

(6)- جد مساحة قطعة دائرية قياس زاويتها °60 وطول نصف قطر دائرتها 8 cm.

ج/ 5.81cm²

^{$$\begin{gathered} \mathbf{الدائرية}\mathbf{ }\mathbf{القطعة}\mathbf{ }\mathbf{مساحة}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathit{Q}\mathbf{-}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{Q}\mathbf{)} \\ \mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{60}\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{الدائري}\mathbf{ }\mathbf{القياس}\mathbf{ }\mathbf{إلى}\mathbf{ }\mathbf{60}\mathit{ْ}\mathbf{ }\mathbf{الزاوية}\mathbf{ }\mathbf{نحول} \\ \mathbf{المسافة}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathbf{64}\mathbf{\times }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.47}\mathbf{-}\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{32}\mathbf{\times }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.47}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.865}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{.824}{\mathbf{cm}}^{\mathbf{2}} \end{gathered}$$}