تمرينات (1 - 4)

(1)- حول إلى التقدير الدائري كل من قياس الزوايا الآتية:

${300}^{\circ },{120}^{\circ },{30}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& {\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{:}\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\\ & \mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{30}\mathbf{\pi }}{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{قطرية}\mathbf{ }\mathbf{نصف}\mathbf{ }\mathbf{زاوية}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& {\mathbf{120}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{:}\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{120}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}}\\ & \mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{120}\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{قطرية}\mathbf{ }\mathbf{نصف}\mathbf{ }\mathbf{زاوية}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& {\mathbf{300}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{:}\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{Q}}{\mathbf{300}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\\ & \mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{300}\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{قطرية}\mathbf{ }\mathbf{نصف}\mathbf{ }\mathbf{زاوية}\end{array}$

(2)- حول كلاً من الزوايا نصف القطرية الآتية إلى التقدير الستيني:

$\frac{1}{3}\cdot \frac{5\pi }{6}\cdot \frac{3\pi }{5}$

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{:}\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{180}}{\mathbf{\pi }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{60}}{\mathbf{\pi }}\\ & {\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{60}}{\mathbf{3}\mathbf{.14}}\mathbf{=}\mathbf{19}{\mathbf{.11}}^{\mathbf{\circ }}\\ & \frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathbf{:}\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}}{\mathbf{D}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}\mathbf{\times }\mathbf{180}\mathbf{=}{\mathbf{150}}^{\mathbf{\circ }}\\ & \frac{\mathbf{3}\mathbf{\pi }}{\mathbf{5}}\mathbf{:}\frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\frac{\mathbf{3}\mathbf{\pi }}{\mathbf{5}}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\mathbf{\times }\mathbf{180}\mathbf{=}{\mathbf{108}}^{\mathbf{\circ }}\end{array}$

(3)- قياس زاوية مركزية في دائرة $\frac{5}{6}$ من الزوايا نصف القطرية تقابل قوساً طوله 25 جد نصف قطر تلك الدائرة، ج/ 30 cm.

$$\begin{gathered} \mathbf{\left|}\mathit{Q}\mathbf{\right|}\mathbf{=}\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{r}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{\left|}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}\mathbf{\right|}\mathbf{=}\frac{\mathbf{25}}{\mathbf{r}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{25}}{\mathbf{r}} \\ \mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{30}\mathbf{cm}\mathbf{ }\mathbf{القطر}\mathbf{ }\mathbf{نصف}\mathbf{ }\mathbf{طول} \end{gathered}$$

(4)- ما طول القوس المقابل لزاوية مركزية قياسها 135˚ في دائرة نصف قطرها 8cm؟ ج/ 18.857

نحول القياس الستيني إلى دائري:

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{Q}}{\mathbf{135}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}}\\ & \mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{قطرية}\mathbf{ }\mathbf{نصف}\mathbf{ }\mathbf{زاوية}\\ & \mathbf{\left|}\mathbf{Q}\mathbf{\right|}\mathbf{=}\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{r}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{3}\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{8}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{4}\mathbf{L}\mathbf{=}\mathbf{24}\mathbf{\pi }\\ & \mathbf{L}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{\pi }\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{\times }\mathbf{3}\mathbf{.14}\mathbf{=}\mathbf{18}\mathbf{.84}\mathbf{cm}\mathbf{ }\mathbf{القوس}\mathbf{ }\mathbf{طول}\end{array}$

(5)- زاويتان مجموعهما $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ زاوية نصف قطرية وفرقهما يساوي 9˚ فما مقدار هاتين الزاويتين بالتقدير الستيني؟ ج/ 18˚، 27˚

نحول $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ إلى القياس الستيني:

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}}\\ & {\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{\times }\mathbf{180}\mathbf{=}{\mathbf{45}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{ }\mathbf{الزاويتين}\mathbf{ }\mathbf{مجموع}\end{array}$

نفرض أن قياس الزاويتين A,B

$\left\{\begin{array}{l}A+B={45}^{\circ }\\ A-B=9^{\circ }\end{array}\right\}\mathbf{ }\mathbf{معطى}$

$\begin{array}{rl}\mathbf{بالجمع}\mathbf{ }& \mathbf{2}\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{54}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{A}\mathbf{=}\frac{\mathbf{54}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathbf{27}}^{\mathbf{\circ }}\\ & \mathbf{B}\mathbf{=}{\mathbf{45}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}{\mathbf{27}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{=}\mathbf{18}\end{array}$

(6)- ارسم $<\overrightarrow{\mathrm{AOB}}$ في وضعها القياسي إذا كان قياسها = $\frac{5\mathrm{\pi }}{4}$ ثم جد قياسها بالتقدير الستيني؟

نحول القياس الدائري إلى الستيني:

• $\begin{array}{rl}& \frac{\mathbf{Q}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}}{{\mathbf{D}}^{\mathbf{\circ }}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{180}}\\ & \mathbf{D}\mathbf{=}{\mathbf{255}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{ }\mathbf{الثالث}\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{وتقع}\end{array}$