حل المعادلات التفاضلية المتجانسة

ثانياً المعادلة التفاضلية المتجانسة:

هي المعادلة التي نستطيع كتابتها بالشكل $\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$ فمثلاً المعادلة $(x^4-y^4)\frac{dy}{dx}=x^{3}y$ يمكن كتابتها بالصورة $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{y}{x}}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^4}$ (بقسمة طرح المعادلة على $x^4$).

ملاحظة: لمعرفة المعادلة متجانسة نقوم بوضع $x$ عن كل $y$ في المعادلة فإذا كانت الأسس متساوية فإن المعادلة متجانسة.

(1)- بين أي المعادلات التالية متجانسة:

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^3+y^3}{3x^{2}y}$

بقسمة البسط والمقام على $x^3\ne 0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{y^3}{x^3}}{\frac{3x^{2}y}{x^3}}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^3}{3\left(\frac{y}{x}\right)}$

المعادلة متجانسة.

$2xy{y}^{\mathrm{\prime }}-y^2+2x^2=0$

بقسمة البسط والمقام على $x^2\ne 0$

$$\begin{gathered} 2\frac{xy}{x^2}{y}^{\mathrm{\prime }}-\frac{y^2}{x^2}+2\frac{x^2}{x^2}=0\Rightarrow 2\left(\frac{y}{x}\right)\frac{dy}{dx}-{\left(\frac{y}{x}\right)}^2+2=0 \\ 2\left(\frac{y}{x}\right)\frac{dy}{dx}={\left(\frac{y}{x}\right)}^2-2\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{{\left(\frac{y}{x}\right)}^2-2}{2\left(\frac{y}{x}\right)} \end{gathered}$$

المعادلة متجانسة.

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2-y}{x^3}$

غير متجانسة لا يمكن كتابتها بالشكل $\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$

طريقة حل المعادلة التفاضلية المتجانسة:

إذا كانت المعادلة التفاضلية متجانسة فإننا نتبع ما يأتي:

1. نكتب المعادلة بالصورة $[\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)]$ ثم نعوض عن كل $[v=\frac{y}{x}]$ أو $[y=vx]$ حيث $v$ دالة إلى $x$.
2. نشتق $y=vx$ بالنسبة إلى $x$ فنحصل على $[\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}]$.
3. نربط بين الخطوتين (1) و(2) فنحصل على $v+x\frac{dv}{dx}=f\left(v\right)\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=f\left(v\right)-v$
4. بعد فصل المتغيرات نحصل $\frac{dv}{f\left(v\right)-v}=\frac{dx}{x}$.
5. نأخذ التكامل للطرفين لينتج $\int \frac{dv}{f\left(v\right)-v}=\int \frac{dx}{x}$.
6. نعوض بعد ذلك عن $[\frac{y}{x}=v]$ فنحصل على الحل العام بدلالة المتغيرين $y,x$.

(2)- حل المعادلة التفاضلية $y^{\mathrm{\prime }}=\frac{3y^2-x^2}{2xy}$

نقسم البسط والمقام على $x^2\ne 0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3y^2-x^2}{2xy}$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{3y^2}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}}{\frac{2xy}{x^2}}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3{\left(\frac{y}{x}\right)}^2-1}{2\left(\frac{y}{x}\right)}\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{3v^2-1}{2v}\dots \dots \dots \left(2\right)[v=\frac{y}{x} \left(\mathrm{وضعنا}\right)]\\ & \because y=vx\Rightarrow \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}\dots \dots \dots \left(3\right)\end{array}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v+1}{v-1}\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{v+1}{v-1}-v\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{v+1-v(v-1)}{v-1}\\ & x\frac{dv}{dx}=\frac{v+1-v^2+v}{v-1}\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{2v-v^2+1}{v-1}\\ & \therefore \frac{v-1}{2v-v^2+1}dv=\frac{1}{x}dx\Rightarrow \int \frac{1}{x}dx=\int \frac{v-1}{2v-v^2+1}dv\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \int \frac{1}{x}dx=\frac{-1}{2}\int \frac{-2v+2}{2v-v^2+1}dv\Rightarrow \frac{-1}{2}\ln |2v-v^2+1|+\ln \left|c\right|=\ln \left|x\right|\\ & \ln \left|c{[2v-v^2+1]}^{\frac{-1}{2}}\right|=\ln \left|x\right|\Rightarrow \ln \left|\frac{c}{\sqrt{2v-v^2+1}}\right|=\ln \left|x\right|\\ & \frac{c}{\sqrt{2v-v^2+1}}=\left|x\right|\Rightarrow \frac{c}{\sqrt{2\left(\frac{y}{x}\right)-{\left(\frac{y}{x}\right)}^2+1}}=\left|x\right|\\ & \left|x\right|=\frac{c}{\sqrt{2\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^2}+1}}\Rightarrow x^2=\frac{c^2}{2\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^2}+1}\Rightarrow c^2=x^2+2yx-y^2\end{array} \end{gathered}$$

(3)- حل المعادلة $(3x-y)y^{\mathrm{\prime }}=x+y$

نقسم البسط والمقام على $x\ne 0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{3x-y}$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{x}{x}+\frac{y}{x}}{3\frac{x}{x}-\frac{y}{x}}\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{y}{x}}{3-\frac{y}{x}}\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{1+v}{3-v}\dots \dots \dots \left(2\right)[v=\frac{y}{x} \left(\mathrm{وضعنا}\right)]\\ & v=\frac{y}{x}\Rightarrow y=vx\Rightarrow \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}\dots \dots \dots \left(3\right)\end{array}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& v+x\frac{dy}{dx}=\frac{1+v}{3-v}\Rightarrow x\frac{dy}{dx}=\frac{1+v}{3-v}-v\Rightarrow x\frac{dy}{dx}=\frac{1+v-3v+v^2}{3-v}\\ & x\frac{dy}{dx}=\frac{v^2-2v+1}{3-v}\Rightarrow x\frac{dy}{dx}=\frac{(v-1{)}^2}{3-v}\\ & \frac{1}{x}dx=\frac{3-v}{(v-1{)}^2}dv\Rightarrow \int \frac{-(v-3)}{(v-1{)}^2}dv=\int \frac{dx}{x}\Rightarrow \int \frac{-\left[\right(v-1)-2]}{(v-1{)}^2}dv=\int \frac{dx}{x}\\ & \int \frac{-(v-1)}{(v-1{)}^2}dv+\int \frac{2}{(v-1{)}^2}dv=\int \frac{dx}{x}\\ & -\int \frac{dv}{v-1}+\left(2\right)\int (v-1{)}^{-2}dv=\int \frac{dx}{x}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -\ln |v-1|+\frac{2(v-1{)}^{-1}}{-1}+c=\ln \left|x\right|\Rightarrow -\ln |v-1|+\frac{-2}{(v-1)}+c=\ln \left|x\right|\\ & \because v=\frac{y}{x}\Rightarrow \ln \left|x\right|-\ln |\frac{y}{x}-1|-\frac{2}{\frac{y}{x}-1}+c\\ & \ln \left|x\right|+\ln |\frac{y}{x}-1|=\frac{-2}{\frac{y-x}{x}}+c\Rightarrow \ln \left|x(\frac{y}{x}-1)\right|=\frac{-2x}{y-x}+c\\ & \ln |y-x|=\frac{-2x}{y-x}+c\end{array} \end{gathered}$$

(4)- حل المعادلة $2xy{y}^{\mathrm{\prime }}-y^2+x^2=0$

نقسم البسط والمقام على $x^2\ne 0$

$\begin{array}{rl}& 2xy{y}^{\mathrm{\prime }}=y^2-x^2\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{y^2-x^2}{2xy}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{y^2}{x^2}{\frac{x}{x}}_{x^2}^{2xy}}{x^2}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{{\left(\frac{y}{x}\right)}^2-1}{2\left(\frac{y}{x}\right)}\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{v^2-1}{2v}\dots \dots \dots \left(2\right)[v=\frac{y}{x} \left(\mathrm{وضعنا}\right)]\\ & y=vx\Rightarrow \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dy}{dx}\dots \dots \dots \left(2\right)\\ & v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2-1}{2v}\dots \cdots \cdots \left(3\right)\end{array}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{array}{rl}& x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2-1}{2v}-v\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2-1-2v^2}{2v}\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{-v^2-1}{2v}\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{-(v^2+1)}{2v}\\ & \frac{2v}{(v^2+1)}dv=-\frac{dx}{x}\Rightarrow \int \frac{2v}{v^2+1}dv=-\int \frac{dx}{x}\Rightarrow \ln |v^2+1|+\ln \left|c\right|=-\ln \left|x\right|\\ & \ln |v^2+1|+\ln \left|x\right|=-\ln \left|c\right|\Rightarrow \ln \left|x(v^2+1)\right|=\ln \left|c^{-1}\right|\\ & \ln \left|x(v^2+1)\right|=\ln \left|\frac{1}{c}\right|\Rightarrow \pm x(v^2+1)=\frac{1}{c}\Rightarrow c=\pm \frac{1}{x(v^2+1)}\\ & \because v=\frac{y}{x}\Rightarrow c=\pm \frac{1}{x(\frac{y^2}{x^2}+1)}\Rightarrow c=\pm \frac{1}{x\left(\frac{y^2+x^2}{x^2}\right)}\Rightarrow c=\pm \frac{1}{\left(\frac{y^2+x^2}{x}\right)}\\ & c=\pm \frac{x}{y^2+x^2}\end{array}$

(5)- جد الحد العام للمعادلة التفاضلية $2x^2\frac{dy}{dx}=x^2+y^2$

نقسم البسط والمقام على $x^2\ne 0$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}{2}\dots \dots \dots ..\left(1\right)\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{1+v^2}{2}\dots \dots \dots .\dots \left(2\right)[v=\frac{y}{x}\text{وضنعا}]\\ & \because y=vx\Rightarrow \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{x}\dots \dots \dots \left(3\right)\\ & v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{2}\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{2}-v\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^2-2v}{2}\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2-2v+1}{2}\\ & x\frac{dv}{dx}=\frac{(v-1{)}^2}{2}\Rightarrow \int \frac{2dv}{(v-1{)}^2}=\int \frac{dx}{x}\Rightarrow \int 2(v-1{)}^{-2}dv=\int \frac{dx}{x}\\ & \frac{2(v-1{)}^{-1}}{-1}=\ln \left|x\right|+c\Rightarrow \frac{-2}{v-1}=\ln \left|x\right|+c(v=\frac{y}{x} \left(\mathrm{وضعنا}\right))\\ & \frac{-2}{\frac{y}{x}-1}=\ln \left|x\right|+c\Rightarrow \frac{-2}{\frac{y-x}{x}}=\ln \left|x\right|+c\Rightarrow \frac{-2x}{y-x}=\ln \left|x\right|+c\\ & y-x=\frac{-2x}{\ln \left|x\right|+c}\Rightarrow y=x-\frac{2x}{\ln \left|x\right|+c}\end{array}$