المعادلات التفاضلية الاعتيادية

المعادلة التفاضلية الاعتيادية: هي المعادلة التي تحتوي على مشتقة واحدة أو أكثر للدالة المجهولة في المعادلة (أي للمتغير التابع في المعادلة).

ملاحظة: إن المعادلة التفاضلية الاعتيادية هي علاقة بين متغيرين (المتغير الأول متغير مستقل وليكن $\left(x\right)$ ودالة غير معرفة ولتكن مثلاً $\left(y\right)$ وبعض مشتقات الدالة $\left(y\right)$ بالنسبة للمتغير $\left(x\right)$ مثلاً:

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=3y-4x\\ & x^2{y}^{\prime \prime }+5x{y}^{\mathrm{\prime }}-x^{3}y=0\\ & y^{\mathrm{\prime }}+x^{2}y+x=y\\ & y^4+\cos y+x^{2}y{y}^{\mathrm{\prime }}=0\\ & \frac{d^{3}y}{d{x}^3}+\frac{dy}{dx}=y-4\\ & {\left(y^{\prime \prime }\right)}^2+2y^{\mathrm{\prime }}+x^2\ln x=5\end{array}$

معادلات تفاضلية اعتيادية لأن المتغير $\left(y\right)$ يعتمد فقط على المتغير $\left(x\right)$.

• درجة المعادلة التفاضلية: وهي أكبر قوة (أس) مرفوعة له أعلى مشتقة في المعادلة التفاضلية.
• رتبة المعادلة التفاضلية: وهي رتبة أعلى مشتقة موجودة في المعادلة التفاضلية.

1. من الرتبة الأولى والدرجة الأولى $\frac{dy}{dx}+x-7y=0$
2. من الرتبة الثانية والدرجة الأولى $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=5x-3xy+7$
3. من الرتبة الثالثة والدرجة الثالثة ${\left(y^{\prime \prime \mathrm{\prime }}\right)}^3+y^{\mathrm{\prime }}-y=0$
4. من الرتبة الثانية والدرجة الأولى $y^{\prime \prime }+2y{\left(y^{\mathrm{\prime }}\right)}^3=0$
5. من الرتبة الأولى والدرجة الرابعة ${\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4=x^3-5$
6. من الرتبة الثالثة والدرجة الثانية $x^2{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4+{\left(\frac{d^{3}y}{d{x}^3}\right)}^2+2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0$
7. من الرتبة الرابعة والدرجة الأولى $y^{\left(4\right)}+\cos y+x^{2}y{y}^{\mathrm{\prime }}=0$

ملاحظة: درجة المعادلة التفاضلية التي تكون جبرية في مشتقاتها هي الدرجة الجبرية للمشتقة ذات أعلى مرتبة تظهر في المعادلة ${\left(y^{\prime \prime }\right)}^2=\sqrt{1+\left(y^{\mathrm{\prime }}\right)2}$ من الرتبة الثانية لأن أعلى مشتقة فيها $y^{\prime \prime }$ حيث يمكن إزالة الأسس الكسرية والجذور ونحصل ${\left(y^{\prime \prime }\right)}^4=1+{\left(y^{\mathrm{\prime }}\right)}^2$ بذلك تكون درجة المعادلة الرابعة.