المعادلات التفاضلية الاعتيادية من المرتبة الأولى والدرجة الأولى

أولاً: المعادلات التي تنفصل متغيراتها:

فيي هذا النوع من المعادلات نستطيع أن نعزل كل الحدود التي تحتوي على $\left(x\right)$ مع $\left(dx\right)$ في طرف والحدود التي تحتوي على $\left(y\right)$ مع $\left(dy\right)$ في الطرف الآخر فنحصل على $g\left(y\right)dy=f\left(x\right)dx$ dx ثم تكامل الطرفين فنحصل على:

$\int g\left(y\right)dy=\int f\left(x\right)dx+c$ حيث يمثل $\left(c\right)$ ثابت التكامل.

(1)- حل المعادلة $\frac{dy}{dx}=2x+5$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=2x+5\Rightarrow dy=(2x+5)dx\\ & \int dy=\int (2x+5)dx\Rightarrow y=x^2+5x+c\end{array}$

(2)- حل المعادلة $\frac{dy}{dx}=\frac{x-1}{y}$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{x-1}{y}\Rightarrow ydy=(x-1)dx\\ & \int ydy=\int (x-1)dx\Rightarrow \frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}-x+c\stackrel{(\times 2)}{⟹}{y}^2=x^2-2x+2c\\ & y=\pm \sqrt{x^2-2x+2c}\Rightarrow y=\pm \sqrt{x^2-2x+c_1}(c_1=2c \left(\mathrm{حيث}\right))\end{array}$

(3)- حل المعادلة $dy=\sin x{\cos }^{2}ydx$حيث $y\ne (2n+1)\frac{\pi }{2},(\cos y\ne 0)$

نجعل المعادلة $g\left(y\right)dy=f\left(x\right)dx$

$\begin{array}{rl}& dy=\sin x{\cos }^{2}ydx\stackrel{(÷{\cos }^{2}y)}{⟹}\frac{dy}{{\cos }^{2}y}=\sin xdx\\ & {\sec }^{2}ydy=\sin xdx\\ & \int {\sec }^{2}ydy=\int \sin xdx\Rightarrow \tan y=-\cos x+c\end{array}$

(4)- حل المعادلة $\frac{dy}{dx}=e^{2x+y}$ عندما $x=0,y=0$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=e^{2x+y}\Rightarrow dy=e^{2x}{e}^{y}dx\stackrel{(÷e^y)}{⟹}\frac{dy}{e^y}=e^{2x}dx\Rightarrow e^{-y}dy=e^{2x}dx\\ & \int e^{-y}dy=\int e^{2x}dx\Rightarrow -\int {\mathrm{e}}^{-y}(-1)dy=\frac{1}{2}\int e^{2x}\left(2\right)dx\\ & -{\mathrm{e}}^{-y}=\frac{1}{2}{e}^{2x}+cx=0,y=0 \left(\mathrm{بالتعويض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -{\mathrm{e}}^0=\frac{1}{2}{e}^{2\left(0\right)}+c\Rightarrow -1=\frac{1}{2}+c\Rightarrow c=-\frac{3}{2}\\ & -{\mathrm{e}}^{-y}=\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{3}{2}\Rightarrow -e^{-y}=\frac{1}{2}(e^{2x}-3)\\ & \frac{-1}{e^y}=\frac{e^{2x}-3}{2}\Rightarrow e^y(e^{2x}-3)=-2\Rightarrow e^y=\frac{-2}{e^{2x}-3} \left(\mathrm{الطرفين} \ln \mathrm{نأخذ}\right)\\ & \ln e^y=\ln \left|\frac{-2}{e^{2x}-3}\right|\Rightarrow y=\ln \left|\frac{-2}{e^{2x}-3}\right|\end{array} \end{gathered}$$

(5)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $\frac{dy}{dx}={\sin }^{2}x{\sin }^{2}y$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{{\sin }^{2}y}={\sin }^{2}xdx\Rightarrow {\csc }^{2}ydy={\sin }^{2}xdx \left(\mathrm{للطرفين} \mathrm{تكامل} \mathrm{نأخذ}\right)\\ & \int {\csc }^{2}ydy=\frac{1}{2}\int (1-\cos 2x)dx{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\\ & -\cot y=\frac{1}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2})+c\stackrel{x-1}{⟹}\cot y=-\frac{1}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2})-c\\ & \cot y=-\frac{1}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2})+c_1(c_1=-c \left(\mathrm{حيث}\right))\end{array}$

(6)- جد حلاً للمعادلة $\frac{dy}{dx}=5^{2x+y}$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=5^{2x}\cdot 5^y\Rightarrow \frac{dy}{5^y}=5^{2x}dx\Rightarrow 5^{-y}dy=5^{2x}dx \left(\mathrm{للطرفين} \mathrm{تكامل} \mathrm{ناخذ}\right)\\ & \int 5^{-y}dy=\int 5^{2x}dx\Rightarrow -\frac{1}{\ln 5}\int 5^{-y}(-\ln 5)dy=\frac{1}{2\ln 5}\int 5^{2x}(2\ln 5)dx\\ & [\frac{-1}{\ln 5}\cdot 5^{-y}=\frac{1}{2\ln 5}{5}^{2x}+c] \left(\mathrm{بـ} \mathrm{بالضرب}\right)\\ & -5^{-y}=\frac{1}{2}{5}^{2x}+\mathrm{cln}5\stackrel{x-1}{⟹}{5}^{-y}=-\frac{1}{2}{5}^{2x}-\mathrm{cln}5\Rightarrow 5^{-y}=-\frac{1}{2}{5}^{2x}+c_1(c_1=-c\ln 5 \left(\mathrm{حيث}\right))\end{array}$

(7)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{\mathrm{\prime }}-x\sqrt{y}=0$ عندما $y=9,x=2$

$\begin{array}{rl}& y^{\mathrm{\prime }}-x\sqrt{y}=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}-x{y}^{\frac{1}{2}}=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x{y}^{\frac{1}{2}}\Rightarrow dy=x(y{)}^{\frac{1}{2}}dx\stackrel{(÷y^{\frac{1}{2}})}{=}\frac{dy}{y^{\frac{1}{2}}}=xdx\\ & y^{-\frac{1}{2}}dy=xdx\Rightarrow \int y^{-\frac{1}{2}}dy=\int xdx\Rightarrow \frac{y^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=\frac{x^2}{2}+c\Rightarrow 2\sqrt{y}=\frac{x^2}{2}+c\end{array}$

نعوض $y=9,x=2$ فينتج:

$\begin{array}{rl}& 2\sqrt{9}=\frac{(2{)}^2}{2}+c\Rightarrow 6=2+c\Rightarrow c=4\\ & 2\sqrt{y}=\frac{x^2}{2}+4\stackrel{÷2}{\Rightarrow }\sqrt{y}=\frac{x^2}{4}+2\stackrel{\left(\mathrm{بالتربيع}\right)}{⟹}y={(\frac{1}{4}{x}^2+2)}^2\end{array}$

(8)- جد الحل العام للمعادلة التفاضلية: $(x+1)\frac{dy}{dx}=2y$

$\begin{array}{rl}& (x+1)\frac{dy}{dx}=2y\Rightarrow (x+1)dy=2ydx\Rightarrow \frac{dy}{2y}=\frac{dx}{x+1}\Rightarrow \frac{dy}{y}=2\frac{dx}{x+1}\\ & \int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{x+1}\Rightarrow \ln \left|y\right|=2\ln |x+1|+c\Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln (x+1{)}^2+c\\ & \ln \left|y\right|-\ln (x+1{)}^2=c\Rightarrow \ln \frac{\left|y\right|}{(x+1{)}^2}=c\stackrel{\left(\mathrm{للطرفين} e \mathrm{نأخذ}\right)}{=}\frac{\left|y\right|}{(x+1{)}^2}=e^c\\ & \left|y\right|=e^c(x+1{)}^2\Rightarrow y=\pm c_1(x+1{)}^2(c_1=e^c \left(\mathrm{حيث}\right))\end{array}$